22 当b?2时，f(x)在(1,b?b?4)上递减；f(x)在[b?b?4,??)上递增。

22(2)（方法一）由题意，得：g'(x)?h(x)(x2?2x?1)?h(x)(x?1)2 又h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，

所以对任意的x?(1,??)都有g?(x)?0，g(x)在(1,??)上递增。 又????x1?x2,????(2m?1)(x1?x2)。 当m?1,m?1时，???，且??x1?(m?1)x1?(1?m)x2,??x2?(1?m)x1?(m?1)x2， 2

综合以上讨论，得：所求m的取值范围是（0，1）。

（方法二）由题设知，g(x)的导函数g'(x)?h(x)(x2?2x?1)，其中函数h(x)?0对于任

2意的x?(1,??)都成立。所以，当x?1时，g'(x)?h(x)(x?1)?0，从而g(x)在区间

(1,??)上单调递增。

①当m?(0,1)时，有??mx1?(1?m)x2?mx1?(1?m)x1?x1，

??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，得??(x1,x2)，同理可得??(x1,x2)，所以

由g(x)的单调性知g(?)、g(?)?(g(x1),g(x2))， 从而有|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，符合题设。

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②当m?0时，??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，

??(1?m)x1?mx2?(1?m)x1?mx1?x1，于是由??1,??1及g(x)的单调性知

g(?)?g(x1)?g(x2)?g(?)，所以|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符。

③当m?1时，同理可得??x1,??x2，进而得|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符。

因此综合①、②、③得所求的m的取值范围是（0，1）。

21、A[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。 （方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，

又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO， ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO， 所以∠DCO=300，∠DOC=600，

所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。 （方法二）证明：连结OD、BD。

因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。 因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。 又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA， 于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。 即2OB=OB+BC，得OB=BC。 故AB=2BC。

B[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。

?k0??01??0k?解：由题设得MN????10???10?

01??????由??0k??0?2?2??00k?，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（k，-2）。 ???????10??001??0?2?2?计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|?2?1?2。 所以k的值为2或-2。

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C[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。 解：?2?2?cos?，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x2?y2?2x,(x?1)2?y2?1，

直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x?4y?a?0，

又圆与直线相切，所以|3?1?4?0?a|3?422?1,解得：a?2，或a??8。

D[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。 （方法一）证明：a3?b3?ab(a2?b2)?a2a(a?b)?b2b(b?a)

?(a?b)[(a)5?(b)5]

?(a?b)2[(a)4?(a)3(b)?(a)2(b)2?(a)(b)3?(b)4]

因为实数a、b≥0，(a?b)2?0,[(a)4?(a)3(b)?(a)2(b)2?(a)(b)3?(b)4]?0 所以上式≥0。即有a3?b3?ab(a2?b2)。 （方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得

a3?b3?ab(a2?b2)?a2a(a?b)?b2b(b?a)?(a?b)[(a)5?(b)5]

当a?b时，a?b，从而(a)5?(b)5，得(a?b)[(a)5?(b)5]?0； 当a?b时，a?b，从而(a)5?(b)5，得(a?b)[(a)5?(b)5]?0； 所以a3?b3?ab(a2?b2)。

22、[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且

P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18， P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。 由此得X的分布列为：

X 2010数学

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2 -3 P 0.72 0.18 0.08 0.02 （2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4?n件。 由题设知4n?(4?n)?10，解得n? 又n?N，得n?3，或n?4。

3所求概率为P?C4?0.83?0.2?0.84?0.8192

14， 5答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

23、[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。

b2?c2?a2（方法一）（1）证明：设三边长分别为a,b,c，cosA?，∵a,b,c是有理数，

2bcb2?c2?a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性， b2?c2?a2∴必为有理数，∴cosA是有理数。

2bc（2）①当n?1时，显然cosA是有理数；

当n?2时，∵cos2A?2cos2A?1，因为cosA是有理数， ∴cos2A也是有理数； ②假设当n?k(k?2)时，结论成立，即coskA、cos(k?1)A均是有理数。 当n?k?1时，cos(k?1)A?coskAcosA?sinkAsinA，

1cos(k?1)A?coskAcosA?[cos(kA?A)?cos(kA?A)]，

211cos(k?1)A?coskAcosA?cos(k?1)A?cos(k?1)A，

22解得：cos(k?1)A?2coskAcosA?cos(k?1)A

∵cosA，coskA，cos(k?1)A均是有理数，∴2coskAcosA?cos(k?1)A是有理数， ∴cos(k?1)A是有理数。 即当n?k?1时，结论成立。

综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。

（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知

AB2?AC2?BC2cosA?是有理数。

2AB?AC（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA?sinnA都是有理数。

①当n?1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA?sinA?1?cosA也是有理数。 ②假设当n?k(k?1)时，coskA和sinA?sinkA都是有理数。 当n?k?1时，由cos(k?1)A?cosA?coskA?sinA?sinkA，

2sinA?sin(k?1)A?sinA?(sinA?coskA?cosA?sinkA)?(sinA?sinA)?coskA?(sinA?sinkA)?cosA，

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