在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=??k0??01?,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，????01??10?△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。
C． 选修4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。
D． 选修4-5：不等式选讲 （本小题满分10分）
设a、b是非负实数，求证：a3?b3?ab(a2?b2)。
[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时．．．．．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22、（本小题满分10分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。
（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
23、（本小题满分10分） 已知△ABC的三边长都是有理数。
（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。
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2010年江苏数学高考试卷参考答案
一、 填空题
1、[解析] 考查集合的运算推理。3?B, a+2=3, a=1
2、[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。
3、[解析]考查古典概型知识。p?3?1
624、[解析]考查频率分布直方图的知识。
100×（0.001+0.001+0.004）×5=30
5、[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。 6、[解析]考查双曲线的定义。MF=4。
7、[解析]考查流程图理解。1?2?22???24?31?33,输出
MF4?e??2，d为点M到右准线x?1的距离，d=2，d2S?1?2?22???25?63。
8、[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(ak,ak2)处的切线方程为：y?ak2?2ak(x?ak),当y?0时，解得x?所以ak?1?ak， 2ak,a1?a3?a5?16?4?1?21。 2|c|?1，c的取值范围是（-13，13）。 139、[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2， 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，10、[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，
且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=
22。线段P1P2的长为 33?1?x2?2x11、[解析] 考查分段函数的单调性。??x?(?1,2?1) ?2??1?x?012、[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。
111x22x3x221x3 ()?[16,81]，2?[,]，4?()?2?[2,27]，4的最大值是27。
xy83yyyyxy13、[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。
（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。
cosC?当A=B或a=b时满足题意，此时有：
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1C1?cosC1C2tan2??，tan?，， 321?cosC222tanA?tanB?1tanC2?2，tanCtanC?= 4。 tanAtanB（方法二）
ba??6cosC?6abcosC?a2?b2ab，
a2?b2?c23c222226ab??a?b,a?b?
2ab2tanCtanCsinCcosBsinA?sinBcosAsinCsin(A?B)1sin2C???????tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB1c2c2c2????4 由正弦定理，得：上式=?21cosCab(a2?b2)1?3c66214、[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。
22(3?x)4(3?x)设剪成的小正三角形的边长为x，则：S???(0?x?1) 21331?x?(x?1)??(1?x)22（方法一）利用导数求函数最小值。
4(3?x)24(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)，S?(x)? S(x)???2221?x(1?x)334(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)4?2(3x?1)(x?3) ????2222(1?x)(1?x)331S?(x)?0,0?x?1,x?，
311当x?(0,]时，S?(x)?0,递减；当x?[,1)时，S?(x)?0,递增；
33故当x?1323时，S的最小值是。 33（方法二）利用函数的方法求最小值。
4t241111?2??令3?x?t,t?(2,3),?(,)，则：S?
86t32?t?6t?833???1t2t故当? 二、
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1t31323,x?时，S的最小值是。 833解答题
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15、[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分
14分。
????????（1）（方法一）由题设知AB?(3,5),AC?(?1,1)，则 ????????????????AB?AC?(2,6),AB?AC?(4,4). ????????????????所以|AB?AC|?210,|AB?AC|?42.
故所求的两条对角线的长分别为42、210。
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:
E为B、C的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210；
????????????（2）由题设知：OC=(－2,－1)，AB?tOC?(3?2t,5?t)。
由(AB?tOC)·OC=0，得：(3?2t,5?t)?(?2,?1)?0， 从而5t??11,所以t??11。 5|OC|5
?????????????????????2????OC11或者：AB·OC ?tOC，AB?(3,5),t?AB????2??
16、[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。
（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC。
由∠BCD=900，得CD⊥BC，
又PD?DC=D，PD、DC?平面PCD， 所以BC⊥平面PCD。
因为PC?平面PCD，故PC⊥BC。
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则： 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC， 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。 易知DF=2，故点A到平面PBC的距离等于2。 2（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。 因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。
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