2010年江苏数学高考试卷含答案和解析 下载本文

在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。设k为非零实数,矩阵M=??k0??01?,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1,????01??10?△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求k的值。

C. 选修4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分10分)

在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值。

D. 选修4-5:不等式选讲 (本小题满分10分)

设a、b是非负实数,求证:a3?b3?ab(a2?b2)。

[必做题]第22题、第23题,每题10分,共计20分。请在答题卡指定区域内作答,解答时.......应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22、(本小题满分10分)

某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为80%,二等品率为20%;乙产品的一等品率为90%,二等品率为10%。生产1件甲产品,若是一等品则获得利润4万元,若是二等品则亏损1万元;生产1件乙产品,若是一等品则获得利润6万元,若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。

(1)记X(单位:万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润,求X的分布列; (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

23、(本小题满分10分) 已知△ABC的三边长都是有理数。

(1)求证cosA是有理数;(2)求证:对任意正整数n,cosnA是有理数。

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2010年江苏数学高考试卷参考答案

一、 填空题

1、[解析] 考查集合的运算推理。3?B, a+2=3, a=1

2、[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等,z的模为2。

3、[解析]考查古典概型知识。p?3?1

624、[解析]考查频率分布直方图的知识。

100×(0.001+0.001+0.004)×5=30

5、[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数,由g(0)=0,得a=-1。 6、[解析]考查双曲线的定义。MF=4。

7、[解析]考查流程图理解。1?2?22???24?31?33,输出

MF4?e??2,d为点M到右准线x?1的距离,d=2,d2S?1?2?22???25?63。

8、[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。

在点(ak,ak2)处的切线方程为:y?ak2?2ak(x?ak),当y?0时,解得x?所以ak?1?ak, 2ak,a1?a3?a5?16?4?1?21。 2|c|?1,c的取值范围是(-13,13)。 139、[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2, 圆心(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1,10、[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值,

且其中的x满足6cosx=5tanx,解得sinx=

22。线段P1P2的长为 33?1?x2?2x11、[解析] 考查分段函数的单调性。??x?(?1,2?1) ?2??1?x?012、[解析] 考查不等式的基本性质,等价转化思想。

111x22x3x221x3 ()?[16,81],2?[,],4?()?2?[2,27],4的最大值是27。

xy83yyyyxy13、[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。

(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。

cosC?当A=B或a=b时满足题意,此时有:

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1C1?cosC1C2tan2??,tan?,, 321?cosC222tanA?tanB?1tanC2?2,tanCtanC?= 4。 tanAtanB(方法二)

ba??6cosC?6abcosC?a2?b2ab,

a2?b2?c23c222226ab??a?b,a?b?

2ab2tanCtanCsinCcosBsinA?sinBcosAsinCsin(A?B)1sin2C???????tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB1c2c2c2????4 由正弦定理,得:上式=?21cosCab(a2?b2)1?3c66214、[解析] 考查函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解。

22(3?x)4(3?x)设剪成的小正三角形的边长为x,则:S???(0?x?1) 21331?x?(x?1)??(1?x)22(方法一)利用导数求函数最小值。

4(3?x)24(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x),S?(x)? S(x)???2221?x(1?x)334(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)4?2(3x?1)(x?3) ????2222(1?x)(1?x)331S?(x)?0,0?x?1,x?,

311当x?(0,]时,S?(x)?0,递减;当x?[,1)时,S?(x)?0,递增;

33故当x?1323时,S的最小值是。 33(方法二)利用函数的方法求最小值。

4t241111?2??令3?x?t,t?(2,3),?(,),则:S?

86t32?t?6t?833???1t2t故当? 二、

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1t31323,x?时,S的最小值是。 833解答题

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15、[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。满分

14分。

????????(1)(方法一)由题设知AB?(3,5),AC?(?1,1),则 ????????????????AB?AC?(2,6),AB?AC?(4,4). ????????????????所以|AB?AC|?210,|AB?AC|?42.

故所求的两条对角线的长分别为42、210。

(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:

E为B、C的中点,E(0,1)

又E(0,1)为A、D的中点,所以D(1,4) 故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210;

????????????(2)由题设知:OC=(-2,-1),AB?tOC?(3?2t,5?t)。

由(AB?tOC)·OC=0,得:(3?2t,5?t)?(?2,?1)?0, 从而5t??11,所以t??11。 5|OC|5

?????????????????????2????OC11或者:AB·OC ?tOC,AB?(3,5),t?AB????2??

16、[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。

(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以PD⊥BC。

由∠BCD=900,得CD⊥BC,

又PD?DC=D,PD、DC?平面PCD, 所以BC⊥平面PCD。

因为PC?平面PCD,故PC⊥BC。

(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则: 易证DE∥CB,DE∥平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等。 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。 由(1)知:BC⊥平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD于PC, 因为PD=DC,PF=FC,所以DF⊥PC,所以DF⊥平面PBC于F。 易知DF=2,故点A到平面PBC的距离等于2。 2(方法二)体积法:连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。 因为AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900。

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