江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学

2020届高三下学期四校4月联考

数学试题

参考公式:

1n2一组数据x1,x2,L,xn的方差为:s??(xi?x),其中x是数据x1,x2,L,xn的平均数.

ni?12一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分?请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合A={x|-1

2.已知复数z满足(1-i)z=|1+i|(i为虚数单位),则z的实部为____. 3.若一组样本数据8, 9, x, 9, 10的平均数为9,则该组数据的方差为__. 4.根据如图所示伪代码,最后输出的i的值为____.

5.从2名男同学和3名女同学中选2人参加某项活动,则至少有1名女同学被选中的概率为____.

y2?1的准线方程为____. 6.双曲线x?327.已知{an}(n?N))为等差数列,其公差为-2,且a6是a2与a8的等比中项,Sn为{an}的前n项和,则S10的值为_____.

8.已知函数

*1f(x)?lnx?x2?ax,若函数f(x)在区间(1,2)上存在极值,则实数a的取值范围为____.

29.给出下列命题:

①如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;

②如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ③如果两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直;

④如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中真命题的序号是_____. 10. 已知函数

f(x)?2cos(?x??)(??0,0????)的图象过点(0,2),且在区间[0,]上单调递减,222?则ω的最大值为____

11. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x?2)?y?4,点A是直线x-y+2=0上的一个动点,直线AP,AQ

1

2分别切圆C于P,Q两点,则线段PQ长的取值范围为_____.

12. 已知正实数x, y满足xy(x?y)?1,则x+y的最小值为____.

13. 如图,在梯形ABCD中,AB//CD且DC=2AB=2BC,E为BC的中点, AC与DE交于点O.若

2uuuruuuruuuruuur12CB?CD?5OA?OD,则∠BCD的余弦值为____.

14. 已知周期为6的函数f(x)满足f(4+x)= f(4-x),当x∈[1,4]时,

2f(x)?lnx,则当2?ea?33时(e为自然x对数的底数),关于x的不等式f(x)?af(x)?0在区间[1,15]上的整数解的个数为_____.

二?解答题:本大题共6小题,共90分?请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明?证明过程或演算步骤?

15. (本小题满分14分)

如图,在四棱锥P- ABCD中,底面ABCD是菱形,M为PC的中点?

(1)求证:PA//平面BDM;

(2)若PA=PC,求证:平面PBD⊥平面ABCD.

16.(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy中,已知角a的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过一点P(-3,t)? (1)若t=4,求:sin(?(2)若t?

17. (本小题满分14分)

如图,某大型厂区有三个值班室A,B,C.值班室A在值班室B的正北方向3千米处,值班室C在值班室B的正

?)的值; 4?3且α∈(0,2π),求f(x)= sin(x + α) + cos x的单调增区间.

2

东方向4千米处?

(1)保安甲沿CA从值班室C出发行至点P处,此时PC=2,求PB的距离;

(2)保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A,保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B,甲乙同时出发,甲的速度为5千米/小时,乙的速度为3千米/小时,若甲乙两人通过对讲机联系,对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米(含3千米),试问有多长时间两人不能通话?

18. (本小题满分16分)

x2y2?2?1(0?b?2),且直线y?x?2与以原点为圆心,椭在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为

4b圆C短轴长为直径的圆相切.

(1) 求b的值;

(2)若椭圆C左右顶点分别为M,N,过点P(-2,2)作直线l与椭圆交于A, B两点,且A,B位于第一象限,A在线段BP上.

①若△AOM和△BON的面积分别为S1,S2,问是否存在这样的直线l使得S1?S2?1?请说明理由; ②直线OP与直线NA交于点C,连结MB,MC,记直线MB,MC的斜率分别为k1,k2.求证:k1k2为定值.

19. (本小题满分16分)

3

已知数列{an}(n?N)的前n项和为Sn,Sn(1)若a1?1,求λ的值; (2)证明:数列{an}是等差数列;

*?n(an??)(λ为常数)对于任意的n?N*恒成立. 2(3)若a2?2,关于m的不等式|Sm?2m|?m?1有且仅有两个不同的整数解,求λ的取值范围.

20. (本小题满分16分) 已知函数

f(x)?lnx(a?R,且a为常数). ax?11(e为自然对数的底数),求a的值; 2e(1?e)(1)若函数y=f(x)的图象在x=e处的切线的斜率为

(2)若函数y= f(x)在区间(1,2)上单调递增,求a的取值范围; (3)已知x,y∈(1,2), 且x+y=3. 求证:

21. [选做题]本题包括A?B?C共3小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明?证明过程或演算步骤.

A. [选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分)

(2x?3)lnx(2y?3)lny??0.

x?1y?1

?a0?x2曲线x?y?1在矩阵A??(a?0,b?0)对应的变换下得到曲线?y2?1. ?9?0b?22(1)求矩阵A;

(2)求矩阵A的特征向量.

B. [选修4-4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)

1?x?2?t?2?在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程:?(t为参数),以原点为极点,x轴非负半轴为极

?y?1?3t?2?轴(取相同单位长度)建立极坐标系,圆C的极坐标方程为: ρ+ 2cosθ=0.

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