1．李华1990年1月1日在银行帐户上有5000元存款，（1）在每年10%的单利下，求1994年1月1日的存款额。（2）在年利率8%的复利下，求1994年5月1日的存款额。 解：（1）5000×（1+4×10%）=7000（元）

（2）5000×（1+10%）4.33=7556.8（元）

2．把5000元存入银行，前5年的银行利率为8%，后5年年利率为11%，求10年末的存款累计额。 解：5000（1+8%）

5

×（1+11%）5=12385（元）

3．李美1994年1月1日在银行帐户上有10000元存款。（1）求在复利11%下1990年1月1日的现值。（2）在11%的折现率下计算1990年1月1日的现值。 解：（1）10000×（1+11%）

-4

=5934.51（元）

（2）10000×（1-11%）4=6274.22（元）

4．假设1000元在半年后成为1200元，求

(2)(3)id⑴ ，⑵ i, ⑶ 。

i(2))?1200；所以i(2)??0.4 解：⑴ 1000?(1?2i(2)2)；所以i?0.44 ⑵1?i?(1?2(n)i(m)md?1?n(1?)?1?i?(1?d)?(1?)⑶；

mnd(3)3?1(3)(1?)?(1?i)?0.34335 所以， ；d35．当n?1时，证明：

d?d(n)???i(n)?i。

，

(n)d?d证明：①

因

为

1?d?(1?d(n)n)?C?1?C?(n)

n0n1nd(n)n?C?(2nd(n)n)?C?(23nd(n)n)3??

?1?d(n)d?d所以得到，；

(n)d?? ②

d(n)?m(1?e(n)??m)；e??m?1??C?()?C?()?C?()???1? mmmmm

?2n?23n?34n?4?所以，d?m[1?(1?

?m)]??③

??i(n)i(n)ni(n)[1?]?1?i， 即，n?ln(1?)?ln(1?i)??nn?(n)i?n?(en?1) 所以，

?e?1?n?C?()?C?()?C?()???1?mmmmm??2n?23n?34n?4?

i(n)?n[(1?)?1]??

n④

i(n)(n)?i

(n)(n)(n)iiin0122(n)in[1?]?C?1?C??C?()???1?i[1?]?1?i，nnn

nnnn所以，

i(n)?i

；

6．证明下列等式成立，并进行直观解释：

ma?a?va⑴m?nmnm?nnmm?n1?vv?vmm1?vava?v?a?n解：m?n，m，

iiimmm?n1?v?v?vma?van??am?n

所以，mi

1?v?im

⑵

am?n?am?vsn；

1?v?im?n，

ma解：m?nam1?v?immm?nv?vm?vsn?，

i

mmm?n1?v?v?vma?vs??a所以，mnm?ni

⑶

sm?n?sm?(1?i)anm；

nm?nm(1?i)m?1(1?i)?1(1?i)?(1?i)mms?(1?i)s?(1?i)?解：m，niii

(1?i)?1?(1?i)s?(1?i)an?所以，mim⑷

mm?n?(1?i)m?sm?n

sm?n?sm?(1?i)anm。

解：（同上题）略。

7．某人今年30岁， 其计划每年初存300元，共存30年建立个人存款能从60岁退休开始每年年末得到固定金额，共能领取20年。假设存款利率在前十年为6%，后20年为12%，求每年能取的养老金额。

20s?s?(1?i)?s20210解：3010(1?i1)10?1(1?i)?1202??(1?i2)?

i1i2300?s?59759.5所以60岁时存款有（元） 30由此知，

X?a20?s20，可得X=7774.12（元）

8．某单位在20年内每年存入银行5000元建立职工奖励基金。从存入最后一笔款后的第2年起，每年提取固定金

额奖励一名有突出贡献的职工，这种奖励形式将永远持续下去。假设存款的利率为8%，求每次能够提取的最大金额。

1X?A??X??5000?s20?228809.82。所以X解：

i9．证明：

?18304.79（元）

⑴

an?i?an?s1?an；

证明：

an?1?vn??i1?vii????ani??，所以

n

s1?(1?i)?1??an?s1?an；

a?n⑵

1?e?n??n?nan?1?v?en??1?(1?i)?。

?1?(e)??n??1?e?n?

?sn?⑶

?1n??sn?证明：

(1?i)?1?(e)?1?n??en??1

?10．假设每年第一年收付200元，以后每隔一年增加收付100元，增加到一次收付1000元时不在增加，并一直保持每年1000元的水平连续收付。假设年利率为12%，求这一年金的现值。

a?100a1?100(Ia)9?1000a?解：

?100(1?i)?100?1??8?8(1?i)?8ailx

1000

900 750 600 300

19

?1000??v?4362.94ipx

0.9 5/6 0.8 0.5 0.4

1．依据生命表的基础填充下表：

x

0 1 2 3 4

dx

100 150 150 300 180

qx

0.1 1/6 0.2 0.5 0.6

5 6 120 0 120 0 1

x)，计算： 3.已知lx?1000(1?120⑴0，l120，

ld33，20p30，30q20；

⑵25岁的人至少再活20，最多活25年的概率； ⑶三个25岁的人均存活到80岁的概率。

1200)?0 l?1000(1?)?1000；l120?1000(1?解：⑴0120120d33?l33?l34p30125?1000??1203

20l507??；30q20l309l20?l50??0.3

l20⑵205q25l45?l501??l2519

⑶55p25l80383?()?()?0.074646449l2519

c?xl?100000()，l354．若xc?x⑴c的值；

⑵生命表中的最大年龄；

⑶从出生存活到50岁的概率；

⑷15岁的人在40～50岁之间死亡的概率。

?44000，求：

解：⑴35lc?35?100000()?44000。所以，c=90

c?3590?xl?100000()?0，所以，??90 ⑵x90?x

l504p?? ⑶500l013l40?l502q??152510⑷

l153。

5．证明并作直观解释： ⑴nmqx?npx?n?mpx；

lx?n?lx?n?mlx?nlx?n?mq????npx?n?mpx

证明：nmxlxlxlx⑵

nqx?npx?qx?n；

lx?n?lx?n?1lx?nlx?nlx?n?1qx?????npx?qx?n

lxlxlxlx?n证明：n⑶

n?mpx?npx?mpx?n。

lx?n?mlx?nlx?n?m???npx?mpx?nn?mpx?证明： lxlxlx?n6．证明：

⑴

????x0??xlx?t?x?tdt?lxt；

⑵

0px?x?tdt?1；

?p?p?(???)txtxxx?t⑶；

?x

?px??tpx??x?tt⑷。

?t证明：⑴⑵

???x0lx?t?x?tdt?lx?0?lx???x?lx?l??lx

??x???xt0px?x?tdt??0lx?t?1?1??xdlx?t???lxlx?tlx01dlx?t?1??(lx???x?lx)?1lx；

Dlx?t?lx?Dlx?lx?t??lx?t()?tpx??x?xlx(lx)2⑶

Dlx?tDlx?tlx?tDlx?tDlx???(?)?tpx?(?x??x?t)

lxlxlxlx?tlxDlx?tlx?tDlx?t??lx?t()?????tpx??x?ttpx??⑷?t。 ?xlxlxlxlx?t7．分别在死亡均匀分布，死亡力恒定和鲍德希假设下，用课本附表1给出的生命表计算：

⑴

14q25；⑵51q402?；⑶

150。

3解：⑴14略。

q25?1?tpx??t?q251d25116.9802????0.000305754l254?95650.15

8．若l40?7746，l41?7681，计算⑴死亡均匀分布假设；

⑵鲍德希假设；

?4014：

xqnxqn

⑶假设xl?1000100?x。

解：⑴

?4014q40??0.008409068?1?t?q40；

?1404???tpx?e???t⑵

可令t?1,pxl41??e??l40

???0.008426834?⑶

1404qx??0.0084445731?(1?t)qx与n无关。

。

9．证明在鲍德希规律下，

?s(x)?1?证明：

x?

ns(x?n)?s(x?n?1)1qx??s(x)??x与n无关。

所以，

1. 某人10岁买了定期生存保险，这一保险使其从18岁到25岁每年得到2000元生存保险金，以附表2转换函数

值计算这一年金现值。

N10?8?1?N10?8?8?12000?88a10?2000?2000?0.22775?455.5（元） 解：

N102．证明下列等式成立，并解释其含义。

⑴

??x?1ax?vpxa；

Nx?1Nx?Dx??x?1?vpxa??x?1ax???a证明： DxDx⑵

??x?1?vpxa??x?1； a证明：

??x?1?vpxa??x?1a??x?1?vpxa??x?1a

所以，

??x:n?ax:n?(1?nEx)a⑶；

ax:n证明：

Nx?1?Nx?n?1DX?nNx?1?Dx?(Nx?n?1?DX?n)?(1?nEx)??(1?)?DxDxDx

Nx?Nx?n??x:n??aDxn⑷

nax?v?npx?ax?n；

n证明：

Nx?n?1Nx?n?1Nx?n?1nax??nEx??v?npx??vn?npx?ax?nDxDxDx?n nExm；

a?a?v?p?amxx:n?mx:mx?m:n⑸

证明：

ax:n?m?ax:m?mNx?1?Nx?n?m?1DxNx?1?Nx?m?1DxNx?m?1?Nx?m?n?1Nx?m?1?Nx?m?n?1?mEx??Dx?mDxNx?1?Nx?m?1Nx?m?1?Nx?m?n?1Nx?1?Nx?m?n?1???ax:n?mDxDxDx

v?mpx?ax?m:n?ax:m?vm?mpx?ax?m:n?⑹

??x?(1?i)ax?1px?1?a

Nxpx?1?Nxpx?1?Nx??x?px?1?px?1?a???(1?i)ax?1

证明：

Dx1Ex?1?Dx?1v?px?1?Dx?13．某人在50岁时以50000元的趸缴净保费购买了每月给付k元的生存年金。假设购买后次月开始给付，求k值。

12?11112k?a?12k?(a50?)?12k?(12.26683?)?500002?1224解：

k?338.62(12)504．给付50岁的人每月200元，第一次从60岁开始，共付10年的生存年金转换函数表达式。

解：

2400?1010a(12)50?2400?10E50?a60:10(12)13?2400?10E50?(a60??a70)

24147．以转换函数表达下面变动年金的现值。对（x）第一年末给付1000元，以后每年比上年增加给付500元，，当年给付金额达到5000元时，又以每年1000元的幅度递减，直到1000元后保持不变，直到被保险人死亡为止。

解：

500v?500(Ia)x:8?1000?v(Da)x?9:4?1000?v?ax?14

1?r9i?r?p?(1?r)p??i?p8．假设对所有x，有xx，证明以利率i和x为基础计算的终身年金现值与以

和px为基础计算的终身年金现值相等。 解：以i,px为计算基础

'

1t'''ax??tEx??v?tp??()?px?px?p?1x?t1?it?1t?1 1tt??()?(1?r)?px?px?1?px?t1?it'x'以i???i?r1?r?、

px计算

?t1tax??tEx??v?tpx??()?px?px?1?px?t1?it?1t?11?rt

??()?px?px?1?px?t1?ixl?1000(1?),i?0.10，求50岁的人投保100000元终身寿险的精算现值。

1．假设x115解：

dx?lx?lx?t?11000?(t?1)

115t?1[v??(1?t)] t?01151100000A50?100000?l502．某保单规定，若被保险人在投保后20年内死亡，则在第20年末给付1单位保险金，若被保险人在投保20年以后死亡，则在死亡年年末给付1单位保险金。写出对（x）的保单精算现值的表达式。 解：

A??(vt?01920t?1q)?(v?tqx)txt?20??v20?(t?019tqx)?20Ax

3．某人在30岁时投保了10000元延期25年的定期寿险，求这一保单的精算现值。

解：

mAx:nMx?m?Mx?m?n??v?tqx?Dxt?mm?nt?1

所以