(2)三星模型：
①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
图3
(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
例2 由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图4为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m、B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
图4
(1)A星体所受合力大小FA； (2)B星体所受合力大小FB； (3)C星体的轨道半径RC；
(4)三星体做圆周运动的周期T.
m2m27
答案 (1)23G2 (2)7G2 (3)a (4)π
aa4
a3 Gm
mAmB2m2
解析 (1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝G2＝G2＝FCA
ra方向如图所示
m2
则合力大小为FA＝FBA·cos 30°＋FCA·cos 30°＝23G2 a(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为 mAmB2m2
FAB＝G2＝G2 ramCmBm2
FCB＝G2＝G2 ra方向如图所示， 由余弦定理得合力为： FB＝
2F2FCB·cos 120°＝AB＋FCB－2FAB·
m2
7G2 a
(3)由于mA＝2m，mB＝mC＝m
通过分析可知，圆心O在BC的中垂线AD的中点 则RC＝?3a?2＋?1a?2＝7a ?4??2?4
a3. Gm
m22π
(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝7G2＝m()2RC，可得T＝π
aT
4．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( ) A.
n3T k2B.
n3T k
C.
n2T k
D.
nT k
答案 B
解析 设两恒星的质量分别为m1、m2，距离为L， 双星靠彼此的引力提供向心力，则有 m1m24π2G2＝m1r12 LTm1m24π2G2＝m2r22 LT并且r1＋r2＝L 解得T＝2πL3 G?m1＋m2?
当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时 T′＝2πn3L3＝Gk?m1＋m2?
n3·T k
故选项B正确．
5．银河系的恒星中大约四分之一是双星．如图5所示，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动．由天文观察测得它们的运动周期为T，若已知S1和S2的距离为r，引力常量为G，求两星的总质量M.
图5
4π2r3
答案 GT2解析 设星体S1、S2的质量分别为m1、m2，运动的轨道半径分别为R1、R2，则运动的角速2π
度为ω＝
T
根据万有引力定律和向心力公式有 m1m2G2＝m1ω2R1＝m2ω2R2 r又R1＋R2＝r
联立解得两星的总质量为
ω2r2R2ω2r2R1ω2r34π2r3
M＝m1＋m2＝＋＝＝2.
GGGGT
一、近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的比较
如图6所示，a为近地卫星，半径为r1；b为同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3.
图6
向心力 轨道半径 近地卫星 万有引力 r1
由GMmGM2＝ma得a＝2，故a1>a2 rra1>a2>a3 由a＝rω2得a2>a3 二、卫星追及相遇问题
典例 (多选)如图7所示，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2)，在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有( )