专题强化五 地球同步卫星 双星或多星模型

专题解读 1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用，同步卫星是与地球(中心)相对静止的卫星；而双星或多星模型有可能没有中心天体，近年来常以选择题形式在高考题中出现．

2．学好本专题有助于学生加深万有引力定律的灵活应用，加深力和运动关系的理解． 3．需要用到的知识：牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等．

命题点一 地球同步卫星

1．定义：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星． 2．“七个一定”的特点

(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面． (2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h. (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．

Mm4π27(4)高度一定：由G2＝m2(R＋h)得地球同步卫星离地面的高度h＝3.6×10 m. T?R＋h?(5)速率一定：v＝

GM＝3.1×103 m/s. R＋h

MmGM2

(6)向心加速度一定：由G2＝ma得a＝2＝gh＝0.23 m/s，即同步卫星的向心加?R＋h??R＋h?速度等于轨道处的重力加速度．

(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向相同．

例1 利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( ) A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h 答案 B

解析 地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开

r3

普勒第三定律2＝k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫

T星周期最小时，由数学几何关系可作出它们间的位置关系如图所示．

R

卫星的轨道半径为r＝＝2R

sin 30°r3r312由2＝2得 T1T2?6.6R?3?2R?3

＝2. 242T2解得T2≈4 h.

解决同步卫星问题的“四点”注意

v2Mm4π22

1．基本关系：要抓住：G2＝ma＝m＝mrω＝m2r.

rrT2．重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析． 3．物理规律

(1)不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期． (2)不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．

(3)不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方的特定的点上． 4．重要条件

(1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球的表面半径约为6.4×103 km，表面重力加速度g约为9.8 m/s2.

(2)月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．

(3)人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s .

1．国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”．如图1所示，1970年4

月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )

图1

A．a2＞a1＞a3 C．a3＞a1＞a2 答案 D

解析 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a＝Mm

ω2r，r2>r3，则a2>a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，G2＝ma，由题目中数据可以

r得出，r1a2>a3，选项D正确．

2．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( ) A．距地面的高度变大 B．向心加速度变大 C．线速度变大 D．角速度变大 答案 A

GMm4π2

解析 地球的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大．由＝m2(R＋h)，得

T?R＋h?2h＝

3

B．a3＞a2＞a1 D．a1＞a2＞a3

GMT2－R，T变大，h变大，A正确． 4π2GMmGM

由2＝ma，得a＝2，r增大，a减小，B错误．

rrGMmmv由2＝，得v＝rr

2

GM，r增大，v减小，C错误． r

2π

由ω＝可知，角速度减小，D错误．

T

3．(多选)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中正确的是( ) a1rA.＝ a2Rv1rC.＝ v2R答案 AD

解析 设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物a1r

体的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系有a1＝ω2a2＝ω2又ω1＝ω2，故＝，1r，2R，a2Rv2v2v1Mm1Mm212选项A正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得G2＝m1，G2＝m2，解得＝rrRRv2选项D正确．

命题点二 双星或多星模型 1．双星模型

(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图2所示．

R，r

a1rB.＝()2 a2Rv1D.＝v2

R r

图2

(2)特点：

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 Gm1m2Gm1m222

2＝m1ω1r1，2＝m2ω2r2 LL②两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2

③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L (3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即2．多星模型

(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．

m1r2＝. m2r1