综合法和分析法

【知识梳理】

1．综合法的定义

利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

2．综合法的框图表示

P?Q1―→Q1?Q2―→Q2?Q3―→?―→Qn?Q

(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论) 3．分析法的定义

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

4．分析法的框图表示

得到一个明显Q?P1→P1?P2―→P2?P3―→?―→成立的条件

【常考题型】

题型一、综合法的应用

【例1】 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc. [证明] ∵a，b，c是正数，∴b2＋c2≥2bc， ∴a(b2＋c2)≥2abc.① 同理，b(c2＋a2)≥2abc，② c(a2＋b2)≥2abc.③ ∵a，b，c不全相等，

∴b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab三式中不能同时取到“＝”． ∴①②③式相加得a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc. 【类题通法】

综合法的证明步骤

(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等； (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程． 【对点训练】

41

已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：＋≥9.

ab证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，

414?a＋b?a＋b4ba4ba∴＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋＋≥5＋2 ababababa

＝，即a＝2b时“＝”成立. b

4ba4b×＝5＋4＝9.当且仅当aba

题型二、分析法的应用

【例2】 设a＞b＞0，求证：

a2－b2＋

ab－b2＞ a(a－b)．

[证明] 因为a＞b＞0，所以a2＞ab＞b2， 所以ab－b2＞0. 要证

a2－b2＋

ab－b2＞ a(a－ b)，

a2－ab

只需证2＞2，

a＋aba－b2－ab－b2只需证 而 所以

a2－b2－ab－b2＜a2＋ab.

ab－b2显然成立．

a2－ab

a2－b2＜a2＋ab＋ a2－b2＋

ab－b2＞ a(a－b)成立．

【类题通法】

分析法的证明过程及书写形式

(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．

(2)书写形式：要证?，只需证?，即证?，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立． 【对点训练】

在锐角△ABC中，求证：tan Atan B＞1.

sin Asin B

证明：要证tan Atan B＞1，只需证＞1，

cos Acos B∵A、B均为锐角，∴cos A＞0，cos B＞0. 即证sin Asin B＞cos Acos B，

即cos Acos B－sin Asin B＜0，只需证cos(A＋B)＜0. ∵△ABC为锐角三角形，∴90°＜A＋B＜180°， ∴cos(A＋B)＜0，因此tan Atan B＞1.

题型三、综合法和分析法的综合应用

【例3】 已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C

的对边，求证：(a＋b)1＋(b＋c)1＝3(a＋b＋c)1.

－

－

－

[证明] 法一：(分析法)

要证(a＋b)1＋(b＋c)1＝3(a＋b＋c)1，

－

－

－

113即证＋＝，

a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c只需证＋＝3，

a＋bb＋cca

化简，得＋＝1，

a＋bb＋c

即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.

因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列， a2＋c2－b21

所以B＝60°，所以cos B＝＝，

2ac2即a2＋c2－b2＝ac成立． ∴(a＋b)1＋(b＋c)1＝3(a＋b＋c)

－

－

－1

成立．

法二：(综合法)

因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列， 所以B＝60°.

由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos 60°. 所以c2＋a2＝ac＋b2， 两边加ab＋bc，得

c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 两边同时除以(a＋b)(b＋c)， 得

ca

＋＝1， a＋bb＋c

ca

所以?a＋b＋1?＋?b＋c＋1?＝3，

????

即

113＋＝， a＋bb＋ca＋b＋c

－

－

－

所以(a＋b)1＋(b＋c)1＝3(a＋b＋c)1. 【类题通法】

综合法与分析法的适用范围

(1)综合法适用的范围：

①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等； ②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型． (2)分析法适用的范围：

分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题． 【对点训练】

设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2. 证明：法一：(分析法) 要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，

即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立． 又因a＋b＞0，故只需证a2－ab＋b2＞ab成立， 即需证a2－2ab＋b2＞0成立，即需证(a－b)2＞0成立． 而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立． 由此命题得证． 法二：(综合法)

a≠b?a－b≠0?(a－b)2＞0?a2－2ab＋b2＞0 ?a2－ab＋b2＞ab.

∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)． ∴a3＋b3＞a2b＋ab2.

【练习反馈】

1．下面叙述正确的是( )

A．综合法、分析法是直接证明的方法 B．综合法是直接证法，分析法是间接证法 C．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D．综合法、分析法所用语气都是假定的 解析：选A 直接证明包括综合法和分析法．

2．欲证不等式 3－5＜ 6－8成立，只需证( ) A．(3－5)2＜(6－8)2 B．(3－6)2＜(5－8)2 C．(3＋8)2＜(6＋5)2 D．(3－5－6)2＜(－8)2

解析：选C 要证 3－5＜ 6－8成立，只需证 3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．