2017-2018学年苏教版高中

数学选修2-1学案

目 录

3.1.1 空间向量及其线性运算-3.1.2 共面向量定理 3.1.1 空间向量及其线性运算 3.1.2 共面向量定理

3.1.3 空间向量基本定理-3.1.4 空间向量的坐标表示 3.1.3 空间向量基本定理-3.1.4 空间向量的坐标表示1 3.1.5 空间向量的数量积 3.1.5 空间向量的数量积1

3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量-3.2.2 空间线面关系的判定（一）

3.2.1直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定（一）平行关系 3.2.2 空间线面关系的判定（二）

3.2.2 空间线面关系的判定（二）垂直关系 3.2.3 空间的角的计算 3.2.3 空间的角的计算1 3疑难规律方法 3章末复习提升 3章末复习课

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3．1.1 空间向量及其线性运算

[学习目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的线性运算及运算律，理解空间向量线性运算及其运算律的几何意义．

知识点一 空间向量的概念

在空间中，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模． 知识点二 空间向量的加减法

(1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．(如图) →→→

OB＝OA＋AB＝a＋b； →→→

CA＝OA－OC＝a－b. (2)运算律

交换律：a＋b＝b＋a；

结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 知识点三 空间向量的数乘运算 (1)定义

实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.λa的长度是a的长度的|λ|倍．如图所示． (2)运算律

分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb； 结合律：λ(μa)＝(λμ)a. 知识点四 共线向量定理

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(1)共线向量的定义

与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b. (2)充要条件

对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa. 思考 (1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．对吗？ (2)零向量没有方向．对吗？

(3)空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致．对吗？ 答案 (1)正确．起点相同，终点也相同的两个向量相等． (2)错误．不是没有方向，而是方向任意． (3)正确．

题型一 空间向量的概念 例1 判断下列命题的真假． (1)空间中任意两个单位向量必相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； →→

(4)向量AB与BA的长度相等．

解 (1)假命题．因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同． (2)假命题．因为方向相反的两个向量模不一定相等．

(3)假命题．因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的． →→

(4)真命题．因为BA与AB仅是方向相反，但长度是相等的．

反思与感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念． 跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，

→

(1)试写出与AB相等的所有向量； →

(2)试写出AA1的相反向量；

→

(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量AC1的模．

→→→→

解 (1)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有A1B1，DC及D1C1共3个． →→→→→

(2)向量AA1的相反向量为A1A，B1B，C1C，D1D.

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→

(3)|AC1|＝3.

题型二 空间向量的线性运算

→

例2 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为BD1的是________．(填序号) →→→①A1D1－A1A－AB； →→→②BC＋BB1－D1C1； →→→③AD－AB－DD1； →→→④B1D1－A1A＋DD1. 答案 ①②

→→→→→→

解析 (1)A1D1－A1A－AB＝AD1－AB＝BD1； →→→→→→(2)BC＋BB1－D1C1＝BC1＋C1D1＝BD1；

→→→→→→→→→(3)AD－AB－DD1＝BD－DD1＝BD－BB1＝B1D≠BD1； →→→→→→→→→(4)B1D1－A1A＋DD1＝BD＋AA1＋DD1＝BD1＋AA1≠BD1.

反思与感悟 运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素：

(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”．

跟踪训练2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结→

果为向量AC1的是________．(填序号)

→→→→→→→→→→①(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1；③(AB＋BB1)＋B1C1；④(AA1→→＋A1B1)＋B1C1. 答案 ①②③④

→→→→→→→→→→→→

解析 ①(AB＋BC)＋CC1＝AC＋CC1＝AC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1＝AD1＋D1C1＝AC1；→→→→→→→→→→→→③(AB＋BB1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1；④(AA1＋A1B1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1.所以所给四→个式子的运算结果都是AC1. 题型三 空间向量的共线问题

→→→

例3 设e1、e2是平面上不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，求k的值．

→→→→

解 ∵BD＝CD－CB＝e1－4e2，AB＝2e1＋ke2，

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