??，求束缚电荷分布。 2-21.半径为a的介质球均匀极化，P?P0z?解: (1)介质中的束缚电荷体密度为?'????P?0
???P?z?P0?P0cos? ??r (2) 介质表面的束缚电荷面密度为?'s?n
2-22.求上题中束缚电荷在球中心产生的电场。 解: 介质表面的束缚电荷在球心产生的电场
在介质球表面取半径为r?asin?宽度为dl?asin?d?的环带,可看成
半径为r?asin?,z??acos?,电荷线密度为?l?aP0sin?cos?d?的线电荷圆环,例中给出了线电荷圆环的电场,对?积分得
P0?P0?P0?a3sin2?cos2?d?2 Ez? ?sin2?d???223/2??2?00[(asin?)?(acos?)]8?0016?0
2-23.无限长的线电荷位于介电常数为?的均匀介质中，线电荷密度?l为常数，求介质中的电场强度。
解: 设无限长的线电荷沿 z轴放置, 利用高斯定理,容易求得介质中的电场强度为 E???l ?为场点到线电荷的距离. 2???
2-24. 半径为a的均匀带电球壳，电荷面密度?s为常数，外包一层厚度为d、介电常数为?的介质，求介质内外的电场强度。
解:由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理
?? ??D?dS?q
S22上式左右两边分别为 4?rDr?4?a?s
a2?s由此得 Dr?
r2?a2?s;a?r?a?d?????r2因为D??E，所 以 Er??
a2?s?;r?a?d2???0r
2-25.两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为?，内外导体球壳电
位分别为V和0。求两导体球壳之间的电场和球壳面上的电荷面密度。
解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为 Er?bq 24??r两导体球壳之间的电压为 V?Erdr?a?q11(?) 4??ab1
11r2?abV
代入得，两导体球壳之间的电场为 Er?球壳面上的电荷面密度为
1
11a2?ab?V1 ?s(r?b)?Dn(r?b)??Er(r?b)??
11b2?ab ?s(r?a)?Dn(r?a)??Er(r?a)?
2-26 两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间有两层介质，介电常数为?1、?2，介质界面半径为c，内外导体球壳电位分别为V,0。求两导体球壳之间的电场和球壳面上的电荷面密度以及介质分界面上的束缚电荷面密度。
解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理可得，Dr??Vq 24?r两导体球壳之间的电场为
?q;a?r?c2??4??1r Er??
q?;c?r?b2?4??r2?两导体球壳之间的电压为 V?Erdr?11q11(?)?(?) ?4??ac4??b12caq111111?V/[(?)?(?)] 4??1ac?2cbbqV??11?112;a?r?c?[(?)?1(?)]r?ac?2cb Er??V?;c?r?b?1111?[2(?)?(?)]r2??accb?1?1V ?s(r?a)?Dn(r?a)?11?1112[(?)?(?)]aac?2cb?2V ?s(r?b)?Dn(r?b)???211112[(?)?(?)]b?1accb?V11?'s(r?c)??0(Er(r?c?)?Er(r?c?))?02[?]??11111111c[2(?)?(?)][(?)?1(?)]?1accbac?2cb
2-27 圆柱形电容器，内外导体半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为?，介质的击穿场强为Eb，求此电容器的耐压。
解：设圆柱形电容器内导体电量为q，利用高斯定理，可得 Er?q 2??rLq2??Llnb a内外导体间的电压为 V?因此
q2??L?V blna所以电场可表示为 Er?V1 brlna内导体表面的电场为 Ea?V1 balnab aV?aEaln如果介质的击穿场强为Eb，则电容器的耐压为V?aEblnb a
2-28已知真空中一内外半径分别为a、b的介质球壳，介电常数为?，在球心放一电量为q的点电荷。（1）用介质中的高斯定理求电场强度；（2）求介质中的极化强度和束缚电荷。
??解：（1）由题意，电场具有球对称结构。采用高斯定理??D?dS?q，在半径为r的球面
S上
Dr?由D??E得
??q 4?r2?q;r?a,r?b??4??0r2 Er??
q?;a?r?b??4??r2???????0（2）P??0?eE??0((?r?1)E?(???0)E?????0q1?)?0 ??(2r ?'????P???4?r?? ?'s?P?n????0q??? ?'s(r?a)?P?n
?4?a2????0q?? ?'s(r?b)?P?n2?4?b?q? r24?r
n2-29 某介质的介电常数为??az，a和n均为常数，若介质中的电场强度为恒值且只有z?nD分量，证明：??D?。
z??? 证明 D??E?aznE0z?dnD ??D? (aznE0)?nazn?1E0?dzz
2-30 .有三层均匀介质，介电常数分别为?1,?2,?3,取坐标系使分界均平行于xy面。已知三
?????2z?，求E2,E3。 层介质中均为匀强场，且E1?3x???2z?，设第二、三层介质中的电场强度分别为 解：因为三层介质中均为匀强场，E1?3x????E3yy??E3zz??E2yy??E2zz? ?； E3?E3xx E2?E2xx由边界条件E1t?E2t可得
E2x?E3x?E1x?3， E2y?E3y?E1y?0 由边界条件D1n?D2n， 可得
D2z?D3z?D1z?2?1，即E2z?2?1/?2；E3z?2?1/?3
????2?1/?2z?，E3?3x??2?1/?3z? 所以 E2?3x