2????0;x?b/2 ???0??E??b
??0;x?b/2
2-11. 已知在圆柱坐标中，电场分布为
?Cr???;a?r?b E??r
??0;r?a,r?bC为常数。求电荷分布。
?解: 由??E??/?0得
? ???0??E?0
在r=a,r=b有面电荷.电荷面密度为
??0C/a;r?a ?s?Dn??0En??
??C/b;r?b?0
2-12.若在圆球坐标系中电位为
?(b?a);r?a?ab?a);a?r?b ?(r)??(?r0;r?b?求电荷分布。
2解:由?????/?0得 2 ????0???0
????E??????r ?r?0;r?a?abEr(r)??2;a?r?b
?r?0;r?b??b/a;r?a?s?Dn??0En??0
??a/b;r?b?0
2-13.分别计算方形和圆形均匀线电荷在轴线上的电位。
(a) (b)
解:(a) 方形均匀线电荷在轴线上的电位 方形每条边均匀线电荷的电位
?(d)??l4??02L/2?L/2?Ld2?()2?L/2?dz'2 ?lln224??0Ld?z'd2?()2?L/222其中 d?z?(L/2) 方形均匀线电荷在轴线上的电位为
2?lz2?L2/2?L/2?(z)?ln
22??0z?L/2?L/2(b) 圆形均匀线电荷在轴线上的电位
?l ?(z)?4??02??0ad?'a?z22?a?l2?0a?z22
2-14.计算题2-5给出的电荷分布的电位。 解: 题2-5给出的电荷分布的电场为
?r3;r?a?2?5?a Er??30 2a?5ba?;r?a2?5?r0?由电位的定义,电位为
? ?(r)?Erdr
r?对于r>a
a3?5ba2a3?5ba2 ?(r)?? dr?25?0r5?0rr对于r ?a3?5ba2r3a2?5baa2r4dr??dr??? ?(r)?? 2225?020?020?0a5?0rar5?0a ?a?15a2r4(?5ab?2);r?a??5?044a ?(r)?? 2a?(a?5b);r?a?5?r0? 2-15四个点电荷在圆球坐标系中大小和位置分别为q(a,?/2,0)，q(a,?/2,?/2)， ?q(a,?/2,?)，?q(a,?/2,3?/2)，求r??a处的电位。 ??，解 此4个点电荷组成分别沿x、y轴放置的互相垂直的两对电偶极子p1?2aqx??，电位为 p2?2aqy????(p1?p2)?r ?(r)? 4??0r2 在圆球坐标系中 ??r??sin?sin? ??r??sin?cos?，y x????(p1?p2)?raq?sin?(cos??sin?) ?(r)?224??0r2??0r ???4y??5z?，试求点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的电压。 2-16.已知电场强度为E?3x解 ?? Vab??(a)??(b)??E?dl ba解1 从点a(0,0,0)到点b(1,2,1)的路径l取l1(0,0,0)到点(1,0,0)-+ l2点(1,0,0)到点(1,2,0)-+l3点 (1,2,0)到点(1,2,1) 21????????1 Vba??E?dl??E?dl??E?dl??E?dl??3dx??4dy??5dz?6 ll1l2l3000 ?解2 E???? ???(3x?4y?5z) Vab??(0,0,0)??(1,2,1)?6 ?3?，2-17.已知在球坐标中电场强度为E?2r试求点(a,?1,?1)与点(b,?2,?2)之间的电压。 r解 从点(a,?1,?1)到点(b,?2,?2)的路径l取l1(a,?1,?1)到点(b,?1,?1) +l2点(b,?1,?1) (1,0,0)到点(1,2,0)-+l3点 (1,2,0)到点(1,2,1) ????????b311??r?dr?3(?) V??E?dl??E?dl??E?dl??E?dl??2rabll1l2l3ar?2?，试求点2-18.已知在圆柱坐标中电场强度为E??解 点 ?到点(b,?2,0)之间路径l取l1与点(b,?2,0)之间的电压。 到点(b,?1,0) +l2点(b,?1,0)到点 (b,?2,0) ??????b2b????d??2ln V??E?dl??E?dl??E?dl????all1l2a为常数）。求介质中的束缚电荷。 ??(P02-19.半径为a，长度为L的圆柱介质棒均匀极化，极化方向为轴向，极化强度为P?P0z解: (1)介质中的束缚电荷体密度为?'????P?0 ???P (2) 介质表面的束缚电荷面密度为?'s?n在圆柱介质棒的侧面上束缚电荷面密度为零;在上下端面上束缚电荷面密度分别为 ?'s??P0. 2-20.求上题中的束缚电荷在轴线上产生的电场。 解： 上下端面上束缚电荷产生的电场 由例题，圆盘形电荷产生的电场为 ?z'??s(1?);z'?0?222??0z'?a Ez(z')?? ?sz'??(1?);z'?0222??z'?a0?式中a 为圆盘半径. 对上式做变换,z'?z?L/2,?s?P0,可上端面上束缚电荷产生的电场为 z?L/2?P0(1?);z?L/2?2?22(z?L/2)?a?0 Ez1(z)?? P0z?L/2??(1?);z?L/2222?0?(z?L/2)?a?同理,做变换,z'?z?L/2,?s??P0,可下端面上束缚电荷产生的电场为 z?L/2??P0(1?);z??L/2?2?22(z?L/2)?a?0 Ez2(z)?? P0z?L/2?(1?);z??L/2222??(z?L/2)?a?0上下端面上束缚电荷产生的总电场为 ?P0z?L/2z?L/2?[?];z?L/22222?0(z?L/2)?a?(z?L/2)?a?z?L/2z?L/2?P Ez??0[?2??];?L/2?z?L/2 222(z?L/2)?a(z?L/2)?a?2?0?P0z?L/2z?L/2[?];z??L/2?22222?0(z?L/2)?a(z?L/2)?a??