【例1】设随机变量X的概率密度为

?22?1?x,?1?x?1,f(x)????其它,?0,求X的分布函数。

【解】注意到概率密度f(x)在(-∞,+∞)上为分段函数,

其分段区间为(-∞,-1],(-1,1],(1,+∞);而分布函数为累积和,故应就x在上述不同区间上积分求F(x).

①当

x??1时，

x??xF(x)?f(t)dt?0dt?0;????45

2005 He Xianzhi

合肥工业大学精品课程概率论与数理统计②当

?1?x?1x?1时，

x22F(x)??f(t)dt??0dt??1?tdt??1????x112?1?x?arcsinx?;??2[积分公

式：

?x2ax2a?xdx?a?x?arcsin?C.22a222合肥工业大学精品课程概率论与数理统计462005 He Xianzhi

③当

x?1x时，

?11x22F(x)??f(t)dt??0dt??1?tdt??0dt?1;??????1112[积分：?1?tdt????1.2?1积一半。]

故分布函数为：

21为单位圆面

合肥工业大学精品课程概率论与数理统计472005 He Xianzhi

x??1,?0,?x112F(x)??1?x?arcsinx?,?1?x?1,?2??x?1.?1,由概率密度计算分布函数的方法

■

①用概率密度取值非零的定义区间将整个x轴分成若干个子区间；计算分布函数的方法

②利用积分对积分区间的可加性，就被积函数[概率

密度]分段积分。

熟练各种积分的计算是基础而重要的。

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