§3、连续型随机变量一、概念

定义1

设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在

x非负函数f(x),使对任意实数x均有

F(x)????f(t)dt,则称X为连续型随机变量,其中函数f(x)称为X的概率密度(函数).

概率密度与分布函数均可完整地描述连续型随机变量的统计规律性.

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描述随机变量分布函数

离散型随机变量

连续型随机变量

概率分布概率密度

??pk??xk?xF(x)?P{X?x}??x??f(t)dt????合肥工业大学精品课程概率论与数理统计pk?概率分布f(t)?概率密度42

2005 He Xianzhi

二、概率密度的性质

由定义知,概率密度f(x)具有以下性质:

1.f(x)?0(???x???);??牛顿-莱布尼兹公式

2.?f(x)dx?1;??[确定待定参数]

b3.P{a?X?b}??f(x)dx?F(b)?F(a);[求概率]

xa4.F(x)????f(t)dt(???x???);[由概率密度求分布函数]

5.F?(x)?f(x)(x为f(x)的连续点).[由分布函数求概率密度]

合肥工业大学精品课程概率论与数理统计432005 He Xianzhi

概率密度的形象化解释

设想有一克金,被碾成沿x轴分布的一片面积为1的金箔(如图)

bP{a?X?b}??f(x)dx?F(b)?F(a)x??xx合肥工业大学精品课程概率论与数理统计?f(x)dx?f(x)?x(|?x|??1)44

2005 He Xianzhi

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