【解析】利用勾股定理和余弦定理。 三、解答题
16．【解析】(Ⅰ)由cos C=
255,C是三角形内角，得sin C=1－cos2 C= 55∴sin A=sin (B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C =
22?25?522?55?310 10(Ⅱ) 在△ACD中,由正弦定理，
BCACAC253=,BC=sin A=? 10=6 ×sin Asin Bsin B2102AC=25,CD=125BC=3,cos C=,· 25由余弦定理得:AD=
AC2?CD2?2AC·CD·cosC·
=20?9?2?25?3?25?5 517．【解析】 (Ⅰ)设事件A表示“甲选做14题”,事件B表示“乙选做14题”,则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB+AB”,且事件A、B相互独立
∴P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)? =
11111×+(1－)×(1－)= 222221)． 2(Ⅱ)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4．且ξ～B(4,∴P(ξ=k)=C4(k1k114)(1?)4?k=Ck() (k=0,1,2,3,4) 4222所以变量ξ的分布列为 Ξ P
0 1 161 1 42 3 83 1 44 1 161Eξ=0×1+1×1+2×3+3×1+4×1=2或Eξ=np=4×=2
1648416218．【解析】解法一：(Ⅰ)证明：连结AC，在△CPA中EF//PA 且PA∈平面PAD
∴EF//平面PAD
(Ⅱ)证明：因为面PAD⊥面ABCD平面PAD∩面ABCD=ADCD⊥AD 所以，CD⊥平面PAD ∴CD⊥PA 又PA=PD=PA⊥PD
CD∩PD=D，且CD、PD面PCD PA⊥面PDC
又PA面PAD面PAD⊥面PDC
(Ⅲ)解：设PD的中点为M,连结EM,MF,则EM⊥PD 由(Ⅱ)知EF⊥面PDC,EF⊥PD PD⊥面EFMPD⊥MF
∠EMF是二面角B－PD－C的平面角 Rt△FEM中，EF=
?2AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=
221112PA=a EM=CD=a 22242a2EF24tan∠EMF=故所求二面角的正切值为 ==12EM2a2解法二：如图,取AD的中点O, 连结OP,OF。 ∵PA=PD, ∴PO⊥AD。 ∵侧面PAD⊥底面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴PO⊥平面ABCD,
而O,F分别为AD,BD的中点,∴OF//AB,又ABCD是正方形,故OF⊥AD． ∵PA=PD=
a2AD,∴PA⊥PD,OP=OA=。
22以O为原点,直线OA,OF,OP为x,y,z轴建立空间直线坐标系,则有A(
aaaaaa,0,0),F(0,,0),D(－,0,0),P(0,0,),B(,a,0),C(－,a,0)． 222222aaa,,)． 424???a????aa（Ⅰ）易知平面PAD的法向量为OF=(0,,0)而EF=(,0,－),
244aaa且OF·EF=(0,,0)·(,0,－)=0,∴EF//平面PAD．
244????a?a???aa(Ⅱ)∵PA=(,0,－),CD=(0,a,0)∴PA·CD=(,0,－)·(0,a,0)=0,
2222????????∴PA?CD,从而PA⊥CD,又PA⊥PD,PD∩CD=D,
∵E为PC的中点, ∴E(－
∴PA⊥平面PDC,而PA?平面PAD, ∴平面PDC⊥平面PAD
????a(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面PDC的法向量为PA=(,0,－a2)．
2????aa?????设平面PBD的法向量为n=(x,y,z)．∵DP=(,0,),BD=(－a,a,0),
22DP?0,n·BD?0可得 a·x+0·y+a·z=0, ∴由n·22 －a·x+a·y+0·z=0, 令x=1,则y=1,z=－1,
?故n=(1,1,－1)
??????????n·?PAa6 ?=∴cos
62,二面角B－PD－C的正切值为． 3219．【解析】（Ⅰ）由题意gx=3x2－ax+3a－5， 令φx=3－xa+3x2－5，－1≤a≤1 对－1≤a≤1，恒有gx<0，即φa<0 ∴ φ1<0 3x2－x－2<0 φ－1<0即 3x2+x－8<0
2 3，解得－ （Ⅱ）f′x=3x2－3m2 ①当m=0时，fx=x3－1的图象与直线y=3只有一个公共点 ②当m≠0时，列表： x f′(x) F(x) (－∞,|m|) + ↗ －|m| 0 极大 (－|m|,|m|) － ↘ |m| 0 极小 (|m|,+∞) + ↗ ∴f(x)极小=f|x|=－2m2|m|－1<－1 又∵fx的值域是R，且在(|m|,+∞)上单调递增 ∴当x>|m|时函数y=f(x)的图像与直线y=3只有一个公共点。 当x<|m|时，恒有f(x)≤f(－|m|) 由题意得f(－|m|)<3，即2m2|m|－1=2|m|3－1<3，解得m∈(－32,0∪0,32) 综上，m的取值范围是(－32,32) 20．【解析】（1）∵F0（c，0），F1（0，－b2-c2），F2（0，b2-c2） 222∴| F0F1 |＝(b-c)?c=b=1，| F1F2 |＝2b2-c2=1 于是c2= 37，a2=b2+c2=，所求“果圆”方程为 444224x+y=1（x≥0），y2+x2=1（x≤0） 73（2）由题意，得a＋c＞2b，即a2?b2>2b－a ∵（2b）2＞b2＋c2，∴a2－b2＞（2b－a）2，得 b4< a5b21又b＞c＝a－b，∴2> a22 2 2 2 ∴ b25 ,) ∈( a24 x2y2y2x2（3）设“果圆”的方程为2+2=1（x≥0）2+2=1（x≤0） abba设平行弦的斜率为k x2y2当k＝0时，直线y＝t（－b≤t≤b）与半椭圆2+2=1（x≥0）的交点是 abx2y2t2t2p(a1?2,t)，与半椭圆2+2=1（x≤0）的交点是Q（－c1?2,t）． abbb∴P、Q的中点M（x，y）满足 a?ct2x=1?2 2b