①a2b=| a|2|b|cos?，其中?∈[0，π]为a和b的夹角。 ②|b|cos?称为b在a的方向上的投影。
③a2b的几何意义是：b的长度|b|在a的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。
??④若a =（x1，y1）, b=（x2，y2）, 则a?b?x1x2?y1y2
⑤运算律：a2 b=b2a, (λa)2 b=a2(λb)=λ（a2b）， （a+b）2c=a2c+b2c。 ⑥a和b的夹角公式：cos?=
a?ba?b＝
x1x2?y1y2x1?y?22221
22x?y222???2222
⑦a?a?a?|a|=x+y，或|a|=
x?y?a⑧| a2b |≤| a |2| b |。
(x1?x2?x3y1?y2?y3,)
33??????12.两个向量平行的充要条件：
符号语言：若a∥b，a≠0，则a=λb
?x??x2坐标语言为：设a=（x1,y1），b=(x2,y2)，则a∥b?(x1,y1)=λ(x2,y2)，即?1，
y??y2?1????或x1y2-x2y1=0
在这里，实数λ是唯一存在的，当a与b同向时，λ>0；当a与b异向时，λ<0。 |λ|=
|a||b|??????，λ的大小由a及b的大小确定。因此，当a，b确定时，λ的符号与大小就确
????定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。 13.两个向量垂直的充要条件：
符号语言：a⊥b?a2b=0
坐标语言：设a=(x1,y1), b=(x2,y2)，则a⊥b?x1x2+y1y2=0
????????《平面向量》测试题
一、选择题
1.若三点P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共线，则（ ）
A.x=-1 B.x=3 C.x=
9 2 D.x=51
2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ）
54,-) C.(-10,2) D.(5k,4k) kk33.若点P分AB所成的比为，则A分BP所成的比是（ ）
43773A. B. C.- D.- 7337A.（-5k,4k）
B.(-4.已知向量a、b，a2b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a与b的夹角为（ ） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=41?203,|a|=4,|b|=5，则向量a2b=（ ） A.103
B.-103
C.102
D.10
6．(浙江)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
7?7??77??7?77??7
A.?，? B.?－，－? C.?，? D.?－，－?
9?3??93??3?39??9
7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x）2b与b垂直，则x的值为（ ） A.
23 3 B.
3 23 C.2 D.-
2 58.设点P分有向线段P1P2的比是λ，且点P在有向线段P1P2的延长线上，则λ的取值范围是（ ）
A.(-∞,-1) B.(-1,0) 9.设四边形ABCD中，有DC=
C.(-∞,0) D.(-∞,-
1) 21AB，且|AD|=|BC|，则这个四边形是（ ） 2A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
10.将y=x+2的图像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式为（ ） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10
22
11.将函数y=x+4x+5的图像按向量a经过一次平移后，得到y=x的图像，则a等于（ ） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)
12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D的坐标是（ ）
A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题
13.设向量a=(2,-1)，向量b与a共线且b与a同向，b的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45°，要使λb-a垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a∥b，则a2b= 。 16.在菱形ABCD中，（AB+AD）2（AB-AD）= 。
三、解答题
17.如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知AB=a,AD=b,试用a、b分别表示DC、BC、MN。
18．设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，
(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；(2)求c在a方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.
19.设e1与e2是两个单位向量，其夹角为60°，试求向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角θ。
20.以原点O和A（4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°，求点B的坐标和AB。
21. 已知|a|?2 |b|?3,a与b的夹角为60, c?5a?3b, d?3a?kb,当当实数k为何
o
值时，⑴c∥d ⑵c?d
22.已知△ABC顶点A（0，0），B（4，8），C（6，-4），点M内分AB所成的比为3，N是AC边上的一点，且△AMN的面积等于△ABC面积的一半，求N点的坐标。
参考答案
1.B 2.A 3.C 4.C 5.A 6.D 7.D 8.A 9.C 10.B 11.A 12.C 13.(4,-2) 14.2 15.±15 16.0 17.[解] 连结AC
111AB=a,?? AC=AD+DC= b+a,?? 22211BC=AC-AB= b+a-a= b-a,??
221NM=ND+DM=NA+AD+DM= b-a,??
41MN=-NM=a-b。??
4DC=
18．【解析】 (1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，且－133≠134，∴a与b不共线． 又a2b＝－134＋133＝－1，|a|＝2，|b|＝5，
a2b－12
∴cos〈a，b〉＝＝＝－. |a||b|5210(2)∵a2c＝－135＋13(－2)＝－7∴c在a方向上的投影为
a2c－77
＝＝－2. |a|22
(3)∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3) ＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，
??4λ2－λ1＝5∴???λ1＋3λ2＝－2
??λ
，解得?
??λ
1
＝－
23
7
32＝7
2
2
2
.
19.[解] ∵a=2e1+e2,∴|a|=a=(2e1+e2)=4e1+4e12e2+e2=7,∴|a|=7。
2
2
同理得|b|=7。又a2b==（2e1+e2）2(-3e1+2e2,)=-6e1+ e12e2+2e2=-2
2
7， 27a·b2=-1,∴θ=120°. ∴ cosθ==|a|·|b|7?72?20.[解] 如图8，设B(x,y),
则OB=(x,y), AB=(x-4,y-2)。
∵∠B=90°，∴OB⊥AB，∴x(x-4)+y(y-2)=0，即x+y=4x+2y。①
2
2
设OA的中点为C，则C(2,1), OC=（2，1），CB=(x-2,y-1)
∵△ABO为等腰直角三角形，∴OC⊥CB，∴2(x-2)+y-1=0，即2x+y=5。② 解得①、②得??x1?1?x2?3或?
?y1?3?y2??1∴B(1,3)或B(3,-1)，从而AB=(-3,1)或AB=（-1,-3） 21. ⑴若c∥d 得k?9 ⑵若c?d得k??29
51422.[解] 如图10，
S△AMNS△ABC1|AM|·|AN|·sin?BAC|AM|·|AN|=2=。 1|AB|·|AC|·sin?BAC|AB|·|AC|2