?. 3例5：求向量a=(5,-2,5)在b=(2,1,2)上的投影. 因此，F与s的夹角为?=
解 由公式 a?b=|b|Prjba ，有
|b|Prjba?a?b10?2?10??6. |b|4?1?4?例6：设|a|=2，|b|=3，??(a,b)?平行四边形的面积.
?6，且u=a+2b,v=3a+b,求以u,v为邻边的
解 以u,v为邻边的平行四边形的面积，就是向量???的模.由向量积的运算律，有 ???=(a+2b)?(3a+b)
=a?3a?a?b?2b?3a?2b?b
=0?a?b?6b?a?0 =a?b?6a?b??5a?b
（a，b)，得到 再根据 |c|?|a||b|sin|u?v|?|?5a?b|?5|a?b|?5|a||b|sin??5?2?3?sin??6?15，
即所求的平行四边形的面积是15.
例7：设a=(1,2,-2)，b=(-2,1,0).求a?b及与a,b都垂直的单位向量.
2?21?212i?j?k?2i?4j?5k. 解 a?b=12?2?10?20-21?210由向量积的定义可知，若c=a?b,则同时有c?a及c?b（-c也是如此），因此所求的单位向量为
ijk?115c??(2i?4j?5k)??(2i?4j?5k).
222|c|152?4?5
例8：求以A(1,2,-1)，B(-2,3,1)，C(1,1,2)为顶点的三角形的面积.
AC为邻边的平解 AB?所要求的三角形面积S是以AB、（-3,1,2）,AC?(0,?1,3)，
行四边形面积的一半，因此
iAB?AC??30
j1k2?(5,9,3)，
?135
S?111|AB?AC|?25?81?9?115. 222
例9：设a=(-2,3,1),b=(0,-1,1),c=(1,-1,4)，问这三个向量是否共面？ 解 所谓三个向量共面，是指三个向量在一个平面上，或者经过平行移动后可以置于一个平面上，因为r?a?b与a,b所确定的平面垂直，所以当a,b,,c三个向量共面时，应该有r?c,即r?c?0.计算如下：
ijk r?a?b??231?(4,2,2).
0?11所以有
r?c?(4i?2j?2k)?(i?j?4k)?4?2?8?10?0.
因此所讨论的三个向量不共面.
例10：设向量a,b,c满足条件a?b?b?c?c?a?0，试证a,b,c共面. 证 等式两边都与c做数量积，得
(a?b?b?c?c?a)?c?0?c，
即 (a?b)?c?(b?c)?c?(c?a)?c?0，
因为(b?c)与c垂直，故(b?c)?c?0，同样有(c?a)?c?0，从而得到(a?b)?c?0，即[a b c]=0，这就证明了三向量a,b,c是共面的.
6.4 平面及其方程 例1：
设一平面过点M0(1,0,?2),平面的法向量为n?(1,2,3),求此平面方程
解：
根据平面的点法式方程，有
（x-1）+2（y-0）+3（z+2）=0, 整理得，
x+2y+3z+5=0.
-1),M2(2,1,2),M3(-1,1，-4)的平面方程. 例2：求过三点M1(1,0，解：M1M2?(1,1,3),M1M3?(?2,1，?3),n平行于M1M2?M1M3?(?6，?3,3)，取n?(?6,?3,3),在三点中任取一点，这里取点M1，由平面的点法式方程，得 方程为-6（x-1)?3(y?0)?3(z?1)?0整理得2x?y?z?3?0.
6
?5,1)及M2(3,2，?2)，且平行于y轴，求其方程. 例3：一平面?过两个点M1(1，解 由于所求的平面?与y轴平行，故其一般方程的形式为Ax?Cz?D?0,因为 点M1和M2都在?上，其坐标应当满足?的方程，将这两个点的坐标代入到 这个方程中得到
A+C+D=0， 3A-2C+D=0，
32将A和C看成未知数，解这个方程组，得A=?D,C??D.将这个结果代入到
5532平面方程中，得-Dx?Dz?D?0,消去D后整理得?的方程为
55 3x+2z-5=0.
例4：求两平面x-4y+z-2=0与2x-2y-z-5=0的夹角.
解 n1?(1,?4,1),n2?(2,?2,?1),n1?n2?9,|n1|?18,|n2|?3,
cos??
即???|n1?n2|92??,|n1||n2|3182 .4例5：求点P0(?1,2,3)到平面x?2y?2z?6?0的距离. 解 d?|1?(?1)?2?2?2?3?6|1?2?(?2)222?3.
6.5 空间直线及其方程
?2)及M2(3，?1,0),求其方程. 例1:一直线L过点M1(1,0， 解
因直线过M1,M2这两个点，故可取直线的方向向量s为s?M1M2?(3?1,?1?0,0?2)?(2,?1,2),
利用点M1与s,由式（6.19）得所求直线方程为
x?1yz?2??. 2?12例2：求过点（2,1,4）且垂直于平面y-3z+2=0的直线方程.
解 所求直线L平行于已知平面的法向量，即可以取直线的方向向量为 S=(0,1,-3),从而所求的直线方程可以写为
7
此时
x?2y?1z?4??. 01?3x?2并不表示除式，上述方程应理解为 0?y?1z?4?? ?1?3
??x?2.
例3：把直线L的一般方程
?x?2y?z?5?0 ?,
2x?y?2z?4?0?化为直线的标准式方程和参数方程.
解 取 x=0,得
?-2y?z?5?0 ?, ?y?2z?4?0解得 y=-2,z=1,即得直线上的一个点为（0，-2,1）
ijk取s=1-21?3i?4j?5k.
21-2故L的标准方程为
xy?2z?1??, 345?x?3t?参数方程为?y??2?4t
?z?1?5t.?x?1y?2z??与平面x?y?2z?6?0的交点. 2?13解 将直线用参数方程来表示，有
x=1+2t,y=-2-t,z=3t,
将其代入到平面方程中，有
（1+2t）-(-2-t)+6t+6=0,
即9t+9=0,得t=-1,所以得到x=-1,y=-1,z=-3, 即交点为（-1,-1，-3）.
x?7y?2z?3例5：求点P0(1,1,1)到直线??的距离.
123例4：求直线
解 过P0作一垂直于已知直线的平面，该平面为
（x-1）+2(y-1)+3(x-1)=0,即x+2y+3z-6=0,
再求直线L与平面的交点.用上例的方法求得交点为P(6,0,0),由两点间的距离
8