?40acos?0 原式??d??d??02?r4sin3?dr
2?a5 ?5??40tan3?sec2?d?
?a5. ?10若利用柱面坐标，则?2：0???2?,0?r?a,r?z?a, 原式??d??rdr?dz?2??r(a?r)dr?00r02?a3aa3?a510.
x2y2z2例11 计算???zdxdydz,?是椭球体2?2?2?1.
abc?2解 利用广义球面坐标变换：x?arsin?cos?,y?brsin?sin?,z?crcos?,此时有
J?abcr2sin?,立体?变为0?r?1,0???2?,0????.于是
222zdxdydz?(crcos?)?abcrsin?drd?d? ???????? ?abc3??0(cos?)sin?d??d??rdr
0022?14 ?232323234?abc3. 15例12 求闭曲面x?y?z?a?a?0?所围成的立体的体积.
解 设变换x?au3,y?av3,z?aw3.则原曲面围成立体被映射成单位球体?1：
u2?v2?w2?1,并且
xuJ?yuzuxvyvzvxwyw?27a3u2v2w2, zw因为围成的立体的体积
V????dxdydz????Jdudvdw?27a3???u2v2w2dudvdw.
??1?1再使用球面坐标变换，立刻有
V?27a3??0sin?cos?d??cos?sin?d??r8dr
00522?221 ?27a3??161?4???a3. 410593549
8．4 例1求球面解 由于
，
含在柱面所以
内部的面积(
).
设为曲面在平面上的第一象限的投影，由对称性，并利用极坐标系有
aΑ?4?a2?x2?y2dxdy? =4?d??20acos?ara?r220dr
=2?a2?4a2例2求底圆半径相等的两个直交圆柱面面积。 解
,
利用对称性和公式可知：
A?16R??D1及所围立体的表
1R?xR022dxdyrdr?16R?dθ?0π2R2?r2(cosθ)21?sinθ?0cos2θdθπ2sinθ-12?16R0cosθ?16R2?16R2π2
x2?y2)（单位：m）例3 在海湾中的一个小岛的陆地高度z?30(1?，小岛在涨610潮与落潮时露出水面的面积是变化的，海潮的高潮与低潮之间的差是2m，假设水平面z?0对应于低潮的位置，求高潮与低潮时小岛露出水面的面积之比。 解 本题实质是求曲面面积问题，由题设可知
?A???1?(z?x)?(zy)dxdy???Dxy22Dxy36(x2?y2)1?dxdy 1010关键是找到高潮和低潮时的Dxy，低潮时,z?0；高潮时z?2，于是
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