高等数学下册例题

第六章 向量代数与空间解析几何

6.1 空间直角坐标系

例1 在z轴上求一点M，使点M到点A（1,0,2）和到点B（1,-3,1）的距离相等.

解 因为所求的点M在z轴上，故M的坐标应为（0,0,z），根据题意，有

(0?1)2?(0?0)2?(z?2)2=(0?1)2?(0?3)2?(z?1)2，

解得 z=-3，即点M的坐标是（0,0,-3）.

例2 已知一动点M（x,y,z）到两个点A（1,2,3）和B（-1,-3,0）的距离总是相等，求点M的坐标所满足的方程. 解 由已知条件，有

(x?1)2?(y?2)2?(z?3)2?(x?1)2?(y?3)2?z2，

两端平方后整理，得：

2x+5y+3z-2=0,

即动点坐标应满足这个三元一次方程.

6.2 向量及其线性运算 向量在轴上的投影

例1 在?ABC中，D,E是BC边上的三等分点（见图6.12），设AB=a,AC=b,试用a,b表示AD,AE.

解：由三角形法则，有BC=b-a,再由数与向量乘积定义，有

1111BD?BC?(b?a),EC?BC?(b?a), 3333从?ABD及?AEC中可得

11AD?AB?BD?a+(b-a)=(b+2a),3311AE?AC?CE?AC?EC?b?(b?a)?(2b?a).

33 1

A A a D E b B D 图 6.12 E C B 图 6.13 C

例2 用向量的运算来证明：三角形两腰中点的连线平行于底边且其长度为底边的一半.

证：见图6.13.设AB?a,AC?b,则

1111AB?a,AE?AC?b,2222 BC?AC?AB?b?a,11DE?AE?AD?(b?a)?BC22AD?例3：设a=(4,3,0)=4i+3j,b=(1,-2,2)=i-2j+2k,求a+2b及|a|. 解

a+2b=(4i+3j)+2(i-2j+2k)=4i+3j+2i-4j+4k=6i-j+4k.|a|=4+3+0=5.

222

例4：设已知两点（A2,2，2）和B（1,3,0），求向量AB的方向余弦、方向角:及与AB同向的单位向量.解

AB=（1-2,3-2,0-2）（=-1,1，-2），22+12+（-2）=4=2. |AB|=（-1）

有 cos ???112cos ??cos ??? 2,2,2, 2

??2??3?,??,??. 334与AB同向的单位向量为 a0?

12例5：设向量a与x轴、y轴的夹角余弦为 cos ?=,cos ?=,且|a|=3,求向量a.

332解 cos ?=?1-cos2?-cos2?=?，有

31 ?|a|cos?=3?=1，ay=|a|cos ?=2,az=|a|cos ?=?2. ax3所求的向量有两个，分别是

1112AB?(?,,?)

222|AB| i+2j+2k及i+2j-2k.

例6：一向量的终点在B(2，?1,7),它在x轴、y轴和z轴上的坐标依次为4，-4和7，求该向量起点A的坐标.

解

设点A的坐标为（x,y,z）,则AB=（2-x,-1-y,7-z)，又由已知条件知AB=（4.-4，7），所以有 （2-x,-1-y,7-z）=(4,-4,7),因此得 x=-2,y=3,z=0,即所求点的坐标为（-2,3,0）.

6.3 向量乘积

例1：设|a|=1,|b|=2,|c|=4,a,b,c两两夹角均为，s?a+b+c,求a?s及|s|.3解 a?s=a?(a+b+c)=a?a+a?b+a?c =|a|+|a||b|cos?(a,b)+|a||c|cos?(a,c) =12+1?2?cos2????3 |s|2=s?s=(a+b+c)?(a+b+c) =12+22+42+2(1?2?cos =35 即|s|=35.

+1?4?cos?3=4. =a?a+b?b+c?c+2(a?b+a?c+b?c)?3+1?4?cos?3+2?4?cos?3)3

例2：利用向量的数量积来证明三角形的余弦定理.证明 在三角形ABC中，设?A=?（见图6.22），|BC|=a,|CA|=b,|AB|=c,要证 c2=a2?b2?2abcos?. （6.9）设CB=a,CA=b,Ab=c,则有 c=a-b,从而 |c|2=c?c=(a-b)?(a-b) =|a|+|b|-2|a||b|cos?(a,b).由|a|=a,|b|=b,|c|=c,(a,b)=?,即可得到公式（6.9）.A

b

?22?

c

B

a 图6.22

C

例3：证明向量(b?c)a?(a?c)与向量c垂直.

证 根据向量垂直的条件，只要两个向量的数量积为零，就说明这两个向量是垂直的.注意到b?c与a?c都是数量，由数积的运算律，有

[(b?c)a?(a?c)]?c=（b?c)(a?c)?(a?c)(b?c)?0

从而证明了这两个向量是相互垂直的.

例4：一质点在力F=4i+2j+2k的作用下，从点A（2,1,0）移动到点B（5，-2,6），求F所做的功，及F与AB间的夹角.

解 由数量积的定义知，F所做的功是W=F?s,其中s=AB=3i-3j+6k

是路程向量，故

W=F?s=（4i+2j+2k）（?3j-3j+6k)=18 如果力的单位是牛顿（N），位移的单位是米（m），则Ｆ做的功是18焦耳(J). 再由向量间夹角的余弦公式，有

cos?=

F?s 118==， |F| |s|42?22?2232?(?3)2?6224