2020届河南省郑州市高三第二次质量预测数学(理)试题(解析版) 下载本文

通项公式,再利用裂项相消法求和即可; 【详解】

??7a1?21d?77解:(Ⅰ)设等差数列?an?的公差为d,则?2

??a1?a1?60d???a1?10d??a1?5,?an?2n?3 解得?d?2,?(Ⅱ)由

1111?an?1(n?2,n?N*). ??an,??bnbn?1bn?1bn当n?2时,

?11?11?11??11?1??????L?????????an?1?an?2?L?a1? bn?bnbn?1??bn?1bn?2?b1?b2b1?b1?(n?1)(n?2?5)?3?n(n?2).

对b1?

1

也适合, 3

?1111??n(n?2)(n?N),?bn???. ??bn2?nn?2?1?311?3n2?5n? ????2?2n?1n?2?4(n?1)(n?2)1?11111??Tn??1????L????2?324nn?2?【点睛】

本题考查等差数列基本量的计算,累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和,属于中档题.

18.由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦,此项活动于2018年6月启动,面向全国中学在校学生,通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”.现随机抽取了30名学生的票数,线成如图所示的茎叶图,若规定票数在65票以上(包括65票)定义为风华组.票数在65票以下(不包括65票)的学生定义为青春组.

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(Ⅰ)在这30名学生中,青春组学生中有男生7人,风华组学生中有女生12人,试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关;

(Ⅱ)如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人,再从这5人中随机抽取2人,那么至少有1人在青春组的概率是多少?

(Ⅲ)用样本估计总体,把频率作为概率,若从该地区所有的中学(人数很多)中随机选取4人,用?表示所选4人中青春组的人数,试写出?的分布列,并求出?的数学期望.

n(ad?bc)2附:K?;其中n?a?b?c?d

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2独立性检验临界表:

P?K2?k0? K

0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 【答案】(Ⅰ)没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关;(Ⅱ)

7;10(Ⅲ)分布列详见解析,数学期望为

8. 5【解析】(Ⅰ)依题意作出列联表,由列联表计算出卡方,再跟参考数据比较,即可得出结论;

(Ⅱ)根据古典概型的概率公式计算可得;

(Ⅲ)由样本数据得到抽取1名学生是青春组学生的概率为

2,则?服从二项分布5?2?B?4,?,显然?的取值为0,1,2,3,4,再列出分布列,即可求出数学期望; ?5?【详解】

解:(Ⅰ)作出2?2列联表: 男生 青春组 7 风华组 6 合计 13 第 14 页 共 22 页

女生 合计

5 12 12 18 17 30 n(ad?bc)2?1.83, 由列联表数据代入公式得K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2因为1.83?2.706,

故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关.

C327(Ⅱ)用A表示“至少有1人在青春组”,则P(A)?1?2?.

C510(Ⅲ)由题知,抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生,抽取1名学生是青春组学生的概率为

1222?,那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是,3055又因为所取总体数量较多,抽取4名学生可以看出4次独立重复实验,于是?服从二项分布B?4,??2??. 5?kk4?2?显然?的取值为0,1,2,3,4.且P(??k)?C???5?所以得分布列为:

?2??1???5?4?k,k?0,1,2,3,4.

? 0 1 2 3 4 P 81 625216 625216 62596 62516 625

数学期望E??4?【点睛】

本题考查独立性检验,古典概型的概率计算以及二项分布及其分布列,属于中档题. 19.如图,四边形ABCD是矩形,沿对角线AC将VACD折起,使得点D在平面ABC第 15 页 共 22 页

28? 55内的射影恰好落在边AB上.

(Ⅰ)求证:平面ABD?平面BCD;

AB?2时,求二面角D?AC?B的余弦值. AD1【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).

4(Ⅱ)当

【解析】(Ⅰ)设点D在平面ABC上的射影为点E,连接DE,推导出DE?BC,

AB?BC,从而BC⊥平面ABD,进而BC?AD,AD?平面BCD,由此能证明

平面ABD?平面BCD.

(Ⅱ)以点B为原点,线段BC所在的直线为x轴,线段AB所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角D?AC?B的余弦值. 【详解】

解:(Ⅰ)设点D在平面ABC上的射影为点E,连接DE,则DE?平面ABC,因为

BC?平面ABC,

?DE?BC.

Q四边形ABCD是矩形,?AB?BC,?BC?平面ABD,?BC?AD.

又AD?CD,CD?平面BCD,BC?平面BCD,CD?BC?C 所以AD?平面BCD, 而AD?平面ABD,

?平面ABD?平面BCD.

(Ⅱ)以点B为原点,线段BC所在的直线为x轴,线段AB所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设AD?a,则AB?2a,?A(0,2a,0),C(a,0,0). 由(Ⅰ)知AD?BD,又

AB?2,??DBA?30?,?DAB?60?, AD13a,BE?AB?AE?a,22第 16 页 共 22 页

?AE?AD?cos?DAB?