《概率论与数理统计（本科）》期末考试复习题
一、选择题 1、以
A表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则A为( ).
(A) 甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B) 甲、乙产品均畅销 (C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或乙产品畅销 2、假设事件
A,B满足P(B|A)?1，则( ).
(A)
A是必然事件 (B) P(B|A)?0 (C) A?B (D) A?B
3、设P(AB)?0, 则有( ).
(A) A和B不相容 (B) A和B独立 (C) P(A)=0或P(B)=0 (D) P(A-B)=P(A) 4、设
A和B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）
（A）5、设
A与B不相容 （B）A与B相容 （C）P(AB)?P(A)P(B) （D）P(A?B)?P(A)
A,B为两个随机事件，且0?P(A)?1，则下列命题正确的是（ ）。
A,B互不相容；
(A) 若P(AB)?P(A) ，则(B) 若P(BA)?P(BA)?1 ，则A,B独立；
A,B为对立事件；
(C) 若P(AB)?P(AB)?1，则(D) 若P(B)?P(BA)?P(BA)?1，则B为不可能事件；
?A，则下列式子正确的是（ ）
6、设A,B为两随机事件，且B（A）P(A?B)?P(A); （B）P(AB)?P(A); P(B)?P(A)
（C）P(B|A)?P(B); （D）P(B?A)?7、设A，B为任意两个事件，A? （A）P(A)8、设
B,P(B)?0，则下式成立的为（ ）
?P(A|B)（B）P(A)?P(A|B) （C）P(A)?P(A|B)（D）P(A)?P(A|B)
A和B相互独立，P(A)?0.6，P(B)?0.4，则P(AB)?（ ）
（A）0.4 （B）0.6 （C）0.24 （D）0.5 9、设P(A)?a,P(B)?b,P(A?B)?c，则P(AB)为( ).
(A) a?b (B) c?b (C) a(1?b) (D) b?a
10、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球,则第二人在第一次就取到黄球的概率是 （ ）
（A）1/5 （B）2/5 （C）3/5 （D）4/5
11、一部五卷的选集，按任意顺序放到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率是( ). (A)
1111 (B) (C) (D) 108566151921 (B) (C) (D) 4040404012、甲袋中有4只红球，6只白球；乙袋中有6只红球，10只白球.现从两袋中各取1球，则2球颜色相同的概率是( ). (A)
13、设在10个同一型号的元件中有7个一等品，从这些元件中不放回地连续取2次，每次取1个元件.若第1次取得一等品时，第2次取得一等品的概率是( ). (A)
7667 (B) (C) (D) 101099
14、在编号为1,2,?,n的n张赠券中采用不放回方式抽签，则在第k次(1?k率是( ). (A)
?n)抽到1号赠券的概
1
n?k?11n?k (B)
11 (B)
n?k?1n (D)
15、随机扔二颗骰子，已知点数之和为８，则二颗骰子的点数都是偶数的概率为（ ）。
111 （C） （D） 212316、某人花钱买了A、B、C三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的,中奖的概率分别
（A）
（B）
为P(A)3 5?0.03,P(B)?0.01,P(C)?0.02, 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚
钱的概率约为 ( ) (A) 0.05 （B） 0.06 (C) 0.07 （D） 0.08
17、设N件产品中有n件是不合格品，从这N件产品中任取2件，已知其中有1件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是（ ）
（A）
n?1n(n?1)n(n?1)n?1 （B） （C） （D）
2N?n?1N2N(N?1)2(N?n)
18、设每次试验成功的概率为次成功的概率为( ). （A）Cn?1pr?1rp(0?p?1)，重复进行试验直到第n次才取得r(1?r?n)
rrr?1r?1n?r?1rn?r（D） p(1?p)(1?p)n?r （B）Cnp(1?p)n?r（C）Cnp(1?p)?119、设离散随机变量X的分布函数为F(x)，且xk?1?xk?xk?1，则P(X?xk)?( ).
（A）P(xk?1（C）P(xk?1?X?xk) （B）F(xk?1)?F(xk?1) ?X?xk?1) （D）F(xk)?F(xk?1)
b(i?1,2,?) 为离散型随机变量的概率分布律.
i(i?1)12 (D) 3
20、常数b?( )时，pi?(A) 2 (B) 1 (C)
21、离散型随机变量X的概率分布为P(X（A）?（C）
?k)?A?k(k?1,2,?)的充要条件是( ).
?(1?A)?1且A?0 （B）A?1??且0???1
A???1?1且??1 （D）A?0且0???1
??1}?P{Y??1}?P{X?1}?P{Y?1}?1，两个随机变量X2，Y是相互独立
22、设P{X且同分布,则下列各式中成立的是（ ） (A)P{X?Y}?111 (B) P{X?Y}?1 (C) P{X?Y?0}? (D) P{XY?1}? 24423、设随机变量X在区间(2,5)上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，则至少有两次观测值大于3的概率为( ). (A)
20272 (B) (C) 27305pk (D)
23
24、设两个随机设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为
(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3??,
且
X,Y相互独立，则（ ） （A）??2/9,??1/9 （B）??1/9,??2/9
?1/6,??1/6 （D）??8/15,??1/18
（C）?25、若函数
?cosx,x?D 是随机变量Xf(x)??0,其它?的分布函数，则区间D为 （ ）
（A）[0,?2] （B）[?3?7?,?] （C）[0,?] （D）[,] 22426、下列函数为随机变量的密度函数的为( )
(A)
?1?cosx,x?[0,?]?,f(x)?? (B) f(x)??20,其他???0,x?2其他
(C)
(x??)?1?2?2??e?x,x?0e,x?0 (D) f(x)?? f(x)???2?x?0?0,?x?0?0,227、下列函数中，可以作为随机变量分布函数的是（ ） （A）F(x)?11?x2 （B）F(x)?31?arctanx 42??2arctanx?1
x?0?0,? （C）F(x)??x,x?0??1?x28、设随机变量X的概率密度为
(D) F(x)?。 f?x?，则f?x?一定满足（ ）
（A）0???f?x??1
（B）P?X?x?????f?t?dt
xx（C）
???xf?x?dx?1
（D）P?X?x?????f?t?dt
的分布函数，则对任意实
29、B设随机变量X的密度函数为数a，（ ）成立
(A) F(?a)?1?f(x)，且f(?x)?f(x)，F(x)为X?a0f(x)dx， (B) F(?a)?F(a)，
a1(C) F(?a)???f(x)dx， (D) F(?a)?2F(a)?1
2030、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，密度函数为则（ ） （A）F(x)?f(x)，而且X与?X有相同的分布函数，
F(?x)（B）F(x)??F(?x)（C）f(x)?f(?x)（D）f(x)??f(?x)
31、设随机变量X的概率密度为
?x,?f(x)??2?x,?0,?1.510?x?11?x?2, 则P(X?1.5)?（ ） 其他1.5?? （A）0.875 （B）
?1.50(2?x)dx （C）?(2?x)dx (D) ?(2?x)dx
32、设随机变量X的概率密度为
?4x3,0 使P{X?a}?P{X?a},则a?( ). (A) 42 (B) ?N(0,1)，?(x)是X的分布函数，且P{X12 (D) 1?142 33、设随机变量X?x}???(0,1),则x?( ). (A) ??1(?) (B) ??1(1??) (C) ??1(1??) (D) ??1() 22?34、设随机变量X,Y相互独立，（A）P(X（C）P(X35、设XX~N(0,1),Y~N(1,1)，则( ). ?Y?0)?1/2 （B）P(X?Y?1)?1/2 ?Y?0)?1/2 （D）P(X?Y?1)?1/2 ~N2???,且P(0?X?4)?0.6，则P?X?0??（ ） ??（A）0.3 （B）0.4 （C）0.2 （D）0. 5 36、设随机变量X （A）37、设X?N(1,4)，则下列变量必服从N(0,1)分布的是 （ ） X?1X?1X?1 （B） （C） (D) 2X?1 432~N?0?1?, Y~N?1?2?,X,Y相互独立，令Z?Y?2X,则Z~（ ） （A）N(?2,5) (B) N(1,5) (C) N(1,6) (D) N(2,9) 38、设随机变量 X与Y相互独立，且 2X?N(?1,?12),Y?N(?2,?2)，则Z?X?Y仍具有正态 分布，且有( ). (A) Z (C) Z2?N(?1,?12??2) (B) Z?N(?1??2,?1?2) 22?N(?1??2,?12?2) (D) Z?N(?1??2,?12??2) 39、设随机变量X服从正态分布N(?,?2),则随着?的增大,概率P{|X??|??}( ). (A) 单调增大 (B) 单调减小 (C) 保持不变 (D) 增减不定 40、设随机变量X（A） 0.1385 41、设随机变量 ~N?1,22?，??1??0.8413,则事件“1?X?3”的概率为（ ）。 （B） 0.2413 （C） 0.2934 （D） 0.3413 X~N(0,1)，对给定的?(0???1)，数z?满足P(X?z?)??. 若 P(X?c)??，则c?( ). （A）z?42、设X的分布函数为F2 （B）1?? （C） 2zz1??（D）z1?? 2?x?，则Y?1X?1的分布函数G?y?为（ ） 2（A）F??1?y?1? （B）F?2y?1? （C）F(2y?2) （D）2F?y??1 ?2?1，则Y?2X?(1?x2)的概率密度为( ). 43、设随机变量X的概率密度为?(x)?(A) 1112arctany (B) (C) (D) 222??(1?4y)?(1?y)?(4?y)?a(x?y),0?x?1,0?y?2， f(x,y)???0,其他 44、设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为 则常数a? （ ） (A) 11 (B) 3 (C) 2 (D) 3245、设二维连续型随机向量(X,Y)的概率密度为 ?12e?(3x?4y),x?0,y?0 f(x,y)??，0,其他?则P{0?x?1,0?Y?2}?( ). (A) (1?e?6)(1?e?8) (B) e?3(1?e?8) ?3(C) (1?e)(1?e?8) (D) e?8(1?e?3) 46、设(X,Y)的概率密度函数为（A）P{X?6x2y,0?x?1,0?y?1, 则错误的是( ). f(x,y)??0其他?X,Y不独立 ?0}?1 （B）P{X?0}?1 （C） （D） 随机点(X,Y)落在D?{(x,y):0?x?1,0?y?1}的概率为1 47、设二维随机变量(X,Y)服从G上的均匀分布，G的区域由曲线的联合概率密度函数为( ). y?x2与y?x所围，则(X,Y)(A) ?6,(x,y)?G?1/6,(x,y)?G (B) f(x,y)??f(x,y)??其他其他?0,?0,?2,(x,y)?G?1/2,(x,y)?G (D) f(x,y)?? f(x,y)??其他其他?0,?0,X,Y的分布函数各为FX(x),FY(y).令Z?min(X,Y)，则Z(C) 48、设随机变量X与Y相互独立，且 的分布函数FZ(z)?( ). (A) FX(z)FY(z) (B) 1?FX(z)FY(z) (C) (1?FX(z))(1?FY(z)) (D) 1?(1?FX(z))(1?FY(z)) x?0?0,?349、随机变量X的分布函数为F(x)??x,0?x?1, 则E(X)?( ). ?1,x?1?(A) ??0xdx (B) ?3xdx (C) ?xdx (D) ?3x3dx 43000114?50、设X与Y为两个随机变量，则下列给出的四个式子那个是正确的( ). (A) E(X?Y)?E(X)?E(Y) (B) D(X?Y)?D(X)?D(Y) E(X)E(Y) (D) D(XY)?D(X)D(Y) (C) E(XY)?51、如果X,Y满足D(X?Y)?D?X?Y?，则必有 （ ） ?0 （D）DX?0 （A）X与Y独立 （B）X与Y不相关 （C）DY52、若随机变量X，Y相互独立，则 ( ) (A)D(XY)?（C）D(3XD(X)?D(Y) (B) D(2X?Y)?2D(X)?D(Y) ?2Y)?9D(X)?4D(Y) （D）D(X?Y)?D(X)?D(Y) 53、若随机变量X和Y相互独立，则下列结论正确的是（ ）. (A) ??Y?E（Y）???0 (B) E??X?E（X）??Y?E（Y）???0 E??X?E（X）?1 (D) 相关系数?XY?0 E(X)?E(Y)，则 ( ) (C) 相关系数?XY54、对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)?(A)D(XY)?D(X)?D(Y) (B)D(X?Y)?D(X)?D(Y) （C）X和Y独立 （D）X和Y不独立 55、已知随机变量X和Y的方差D(X)?9,D(Y)?16，相关系数?XY则D(X?Y)?（ ） ?0.5， （A）19 （B）13 （C）37 （D）25 56、设随机变量X的期望E(X)?0，E(（A）21211X?1)?2，D(X?1)?，则E(X)?（ ） 2222 （B）1 （C）2 （D）0 57、已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间 ??1,3?和?2,4?上服从均匀分布，则E?XY??（ ）。 （A） 3 （B）6 （C）10 （D） 12 58、设随机变量X，Y相互独立，且 X?b(10,0.3)，Y?b(10,0.4)，则E(2X?Y)2?( ) （A）12.6 （B）14.8 （C）15.2 （D）18.9 59、 将一枚硬币重复掷n次，以 X和Y分别表示正面向上和向下的次数，则X和Y的相关系数 ?等 于（ ） (A)?1． (B) 0． (C) 1/2． (D) 1． k?22e60、已知随机变量X服从参数为2的泊松分布,即P(X?k)?(k?0,1,2,?), k!则随机变量Y=3X-2的数学期望为( ). (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 61、设X1,X2,X3都服从[0,2]上的均匀分布，则E(3X1?X2?2X3)?( ). (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 2 62、设桃树的直径X的概率密度为 4?,0?x?1?2则E(X)?( ). f(x)???(1?x)，?0,其他?ln4(A) ln2? (B) ln4 (C) ? (D) ln8 2?p的值为 63、已知随机变量X服从二项分布，且有E(X)?2.4,D(X)?1.44，则二项分布的参数n,( ). (A) n?4, (C) n?8,p?0.6 (B) n?6,p?0.4 p?0.3 (D) n?24,p?0.1 64、设连续型随机变量 X的概率密度函数为 ?32,x?0?3随机变量Y?X?4，则f(x)??(x?4)，?0,其他?E(Y)?( ). (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 10 65、某商店经销商品的利润率X的概率密度为 ?2(1?x),0?x?1 则D(X)?( ). f(x)??，其他?0, (A) 1111 (B) (C) (D) 1218161466、二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则X+Y与X-Y不相关的充要条件为 （ ） （A）EX(C)EX2?EY (B) EX2?[EX]2?EY2?[EY]2 ?EY2 (D) EX2?[EX]2?EY2?[EY]2 67、设5个灯泡的寿命Xi(i个灯泡的平均寿命Y?1,?,5)独立同分布，且E(Xi)?a，D(Xi)?b,(i?1,?,5)，则5 的方差D(Y)?（ ） ?X1?X2?X3?X4?X55（A）5b （B）b （C）0.2b （D）0.04b 68、设X1,X2,X3相互独立同服从参数?1?3的泊松分布，令Y?(X1?X2?X3)，则E(Y2)?3（ ） （A）1 （B）9 （C）10 （D）6 162269、设x1,x2,?,x6是来自N(?,?)的样本，S??(xi?x)，则D(S)?( ). 5i?122(A) 14122? (B)?4 (C)?4 (D)?2 35551n???(xi?x)2，其中x1,x2,?,xn是来自正态总体N(?,?2)的样本，则有 70、设?ni?12n?12nn?12? (C) ?2 (D) ? nn?1n271、设随机变量X?N(0,1)，Y?N(0,2)，并且X与Y相互独立，下列哪个随机变量服从?分布 ?2)?( ). (A) ?2 (B) E(?( ) (A) 11112(X?Y)2 (B)X2?Y2 (C)(X?Y)2 (D)X2?Y2 32233211072、已知总体X服从正态分布N(1,?)，则样本均值X??Xi服从（ ） 10i?1 (A) N(1,?2) (B) N(1,10?) (C) N(10,?) (D) N(1,1022?210) 73、设x1,x2,?,x10为N(0,0.32)的一个样本，则P{?xi2?1.44}?( ). i?1 (A) 0.9 (B) 0.1 (C) 0.2 (D) 0.3 74、设随机变量X与Y互相独立， 2X?N(?1,?12),Y?N(?2,?2).从X得到样本 1n11n2X1,X2,?,Xn1，从Y得到样本Y1,Y2,?,Yn2，X??Xi,Y??Yi，则有( ). n1i?1n2i?1(A) X?Y?N(?1??2,???) (B) X?Y?N(?1??2,2?12?22122?12n1?2?2n2) (C) X?Y?N(?1??2,n1?n2) (D) X?Y?N(?1??2,2?12?2n1?n2) 275、设(X1,X2,?,Xn)为总体N(?,?2)(?已知)的一个样本，X为样本均值，则在总体方差?的下列估计量中，为无偏估计量的是( ). ?1n1n22(Xi?X)2 （A）???(Xi?X) （B）?2??ni?1n?1i?121?1n2（C）???(Xi??)ni?123?1n(Xi??)2 （D）???n?1i?124?76、样本容量为n时，样本方差S是总体方差?的无偏估计量，这是因为（ ） 22 (A) ES2??2 (B) ES2??2n (C) S2??2 (D) S2??2 二、填空题 1、已知P(A)?0.5,P(B)?0.6及P(BA)?0.8,则P(A?B)?_________ . 2、已知P(A)?0.7,P(A?B)?0.3，则P(AB)?_______. 3、设 A,B互不相容，且P(A)?p,P(B)?q；则P(AB)?_______. A,B及A?B的概率分别为0.4,0.3,0.5，则P(AB)?______. A,B互不相容，且P?A??0.3,PAB?0.6，则P?B?＝ 4、设事件 5、已知事件 ?? ． 6、设事件 A,B相互独立，P?A??0.4,P?B??0.2，则P?A?B??________． 7、已知 A,B两个事件满足P(AB)?P(AB)，且P(A)?p，则P(B)?_______. 8、袋中有红、黄、白球各一个,每次任取一个,有放回的抽三次,则颜色全不同的概率为 __________. 9、一单项选择题同时列出5个答案，一考生可能真正理解而选对答案，也可能乱猜一个。假设他知道正确答案的概率为 11，乱猜对答案的概率为。如果已知他选对了，则他确实知道正确答案的概率为 ． 35A发生的概率为p，现进行5次独立试验，则A至少发生一次的概率为 . 10、设在一次试验中， 11、同时抛掷四颗均匀的骰子，则四颗骰子点数全不相同的概率为 . 12、有两只口袋，甲带中装有3只白球，2只黑球，乙袋中装有2只白球，5只黑球，任选一袋，并从中任取1只球，此球为黑球的概率为______. 13、三台机器相互独立运转，设第一、二、三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率_______. 14、某人射击的命中率为0.4，独立射击10次，则至少击中9次的概率为_________. 15、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中地概率为_______. 16、甲,乙,丙三人独立射击,中靶的概率分别为率为_________. 12,23和 34,他们同时开枪并有两发中靶,则是甲脱靶的概 17、一批电子元件共有100个，次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个，则第二次才取到正品的概率为 . 18、设离散型随机变量X的分布律为P{X?i}?a,Ni?1,2,?,N.则a?_______. 19、设离散型随机变量X的分布律为P{X?i}?a?ii!,i?1,2,?.， 则a?_______. 20、设随机变量X?b(n,p)，且已知P(X?1)?P(X?2)?2P(X?3)，则p? ． 45，次品率为 21、设某批电子元件的正品律为 1.现对这批元件进行测试，只要测得一个正品就停止测试5工作，则测试次数的分布律是_______. 22、设随机变量X服从泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},则P{X?4}?______. 23、设一批产品共有N个，其中有M个次品.对这批产品进行不放回抽样，连续抽取n次.设被抽查的n个产品中的次品数为X.则P{X?i}?_______，i?0,1,2,?,n. 24、设离散型随机变量X的分布律为 X 0 0.2 1 0.3 2 0.5 则P{X?1.5}?_______. p 25、设随机变量X?B(2,p),Y?B(3,p)，若P{X?1}?5}?_______. ，则P{Y?19P{X?0}?P{Y?50?},8则 26、设 X,Y为相互独立的随机变量，且 P{max(X,Y)?0}? . 27、随机变量 X,Y相互独立且服从同一分布，P(X?k)?P(Y?k)?(k?1)/3，k?0,1，则 . P(X?Y)?28、设随机变量X服从正态分布N??2,3?， 则概率密度函数为___ ___. ?x?,0?x?4，则P(X?2)?_______. f(x)??8??0, 其他29、设随机变量X的概率密度函数为 ?1xe,x?0??330、已知函F(x)??是某随机变量X?A?2e?2x,其它?3?31、设随机变量X的概率密度为 的分布函数，则A? . f(x)?A,???x???，则A＝ 1?x2 ． 32、已知函数 ?Axe?x,x?0是某随机变量Xf(x)??x?0?0,的概率密度，则A的值为 . 33、设随机变量X的概率密度为 113?3?x??x?,f(x)??2222，则Y?2X?1的概率密度为 . ?其它?0,34、连续型随机变量X的概率密度为 ??e?3x,x>0}?_______. 则P{X?0.1f(x)??，x?0?0,1，k? . 2的分布函数F(x)35、设随机变量X?N(1,9),则若P(X?k)?36、设随机变量X的概率密度函数为 1f(x)?e?|x|,???x??，则X2?_______. ?x, x?0?37、设随机变量X具有分布函数F(x)=?1?x ，则P{X>4}=______________ 。 ?0, x?0?x?0?0,?238、设随机变量X的分布函数为 F(x)??Ax,0?x?1, 则A?________. ?1,x?1?39、设随机变量X服从（-2，２）上的均匀分布，则随机变量Y40、设连续随机变量的密度函数为 ?X2的概率密度函数fY(y)? . f(x)，则随机变量Y?3eX的概率密度函数为________. ?(0,1)分布，且X与Y相互独立，则(X,Y)的联合概率密度为 . 41、设随机变量X和Y均服从N42、X与Y相互独立且都服从泊松分布?(?)，则43、X,Y独立且服从相同分布N2X?Y服从的泊松分布为_________. ??,??，则2X?Y?3~ ． ?2e?(2x?y),x?0,y?0，则f(x,y)??其他?0,44、设二维随机变量 (X,Y)的联合概率密度函数为 P{X?1,Y?1}? . ?1?3?x?3?y?3?(x?y),x?0,y?045、设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)??，则 其他?0,(X,Y)的联合概率密度为 . 46、设X与Y是两个相互独立的随机变量，且X在则数学期望E(XY)= . ?0，3?上服从均匀分布，Y服从参数为2的指数分布， 47、设随机变量X服从参数为5的泊松分布,Y?3X?2，则E(Y)?______. 48、设随机变量X服从均匀分布U(-3，4），则数学期望E(2X?1)=___________. 49、设X50、设X~b(20, 0.3)，则方差D(1?2X)= ~N(10,0.3),Y~N(1,4)，且X与Y相互独立，则D(2X?Y)? . 51、设随机变量X,Y相互独立，其中X服从0－1分布（则D(Xp?0.6），Y服从泊松分布且E(Y)?0.6, ?Y)? . ?1，则D(3X?Y)? . 52、若随机变量X，Y是相互独立，且D(X)?0.5，D(Y)53、已知E(X)?1,E(Y)?2,D(X)?1,D(Y)?4,?XY?0.6，设Z?(2X?Y?1)2，则 ? . 其数学期望E(Z)54、设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1服从[0,6]上的均匀分布，X2服从正态分布 N(0,22)，X3服从参数为??3的泊松，令Y?X1?2X2?3X3，则E(X)?______. 55、如果随机变量 X的期望E(X)?2，E(X2)?9，那么D(1?3X)? ． 56、X,Y服从相同分布N?,?2，则E????aX?bY??aX?bY??? ． . 57、设随机变量X~B(3,0.1)，则Y?2X?1的数学期望为 58、设 X,Y相互独立， X和 Y的概率密度分别为 ?8?,x?2fX(x)??x3??0,其他， ?2y,0?y?1fY(y)??, 则E(XY)?______. 0,其他?59、某商店经销商品的利润率X的概率密度为 ?2(1?x),0?x?1则D(X)?______. f(x)??，其他?0, . 60、随机变量(X,Y)~N(0,1;0,4;?)，已知D(2X?Y)?1，则?? ,Y)的联合分布律为 61、设随机变量(X(X,Y) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) P若E(XY) 0.4 0.2 a b . ?0.8，则cov(X,Y)? X62、已知连续型随机变量的概率密度函数为 f(x)?1??e?x2?2x?1,???x???；则 E(X)?______. 63、设随机变量X与Y的相关系数为0.9，若Z?X?0.4,则Y与Z的相关系数为______. 1622? . 64、设x1,x2,?,x6是来自N(?,?)的样本，S??(xi?x)，则E（S）5i?12265、随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式，估计P?X?E?X??2?? ． X1?X2?X3~ 3X4 ． 66、设X1,X2,X3,X4相互独立且服从相同分布?2?n?，则 67、设总体 X?N(2,3)，X1,X2?,Xn为X2的一个简单样本，则 ?i?1n(Xi?2)232服从的分布 是 。 68、若 X1,X2,?,Xn1是正态总体N(?,?2)的容量为n的简单随机样本，则 ?(Xi?1ni??)2服从 ?2______分布. 69、设总体X～N(?,?2), 则 1?2?(Xi?1n2i?X)服从 分布. 70、设（X1,X2,?,X6）是来自正态分布N(0,1)的样本，Y?(?Xi)?(?Xi)2 2i?1i?436当c＝ 时， cY服从?分布. 71、设某种清漆干燥时间 ，取n?9的样本，得样本均值和方差分别为X~N(?,?2)（单位：小时） 的置信度为95%的单侧置信区间上限为： . 2X?6,S2?0.33，则?72、 测量铝的比重16次，设这16次测量结果可以看作一个正态分布的样本，得 X?2.7，标准差 S?0.03，则铝的比重均值?三、解答题 的0.95置信区间为 ． 1、设两两相互独立的三事件 A,B,C满足条件： ABC??,P(A)?P(B)?P(C)且已知， P(A?B?C)?2、设事件 9，求P(A). 1614，试求P(A)及P(B). A与B相互独立，两事件中只有A发生及只有B发生的概率都是 3、一口袋中有6个红球及4个白球。每次从这袋中任取一球，取后放回，设每次取球时各个球被取到的概率相同。求：（1）前两次均取得红球的概率；（2）第n次才取得红球的概率； 4、甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为0.4,0.3,0.5. （1）求恰有两位同学不及格的概率； （2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率. 5、甲、乙、丙三门炮向同一架飞机射击，设甲、乙、丙炮射中飞机的概率依次为0.4，0.5，0.7，又设若 只有一门炮射中，飞机坠毁的概率为0.2，若有两门炮射中，飞机坠毁的概率为0.6，若三门炮同时射中，飞机必坠毁.试求飞机坠毁的概率？ 6、已知一批产品中96 %是合格品，检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05. 求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率. 7、某厂用卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花。到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱。现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率。 8、设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. (1)求先抽到的一份是女生表的概率； (2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 9、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.8,0.1,0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客开箱随机查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回.试求： (1)顾客买下该箱的概率； (2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率. 10、设有两箱同类零件，第一箱内装50件，其中10件是一等品；第二箱内装30件，其中18件是一等品.现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回)，试求 (1)现取出的零件是一等品的概率； (2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率. 11、有朋友自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.若坐火车来迟到的概率是 14；坐船来迟到的概率是 11；坐汽车来迟到的概率是；坐飞机来，则不会迟到.实际上312他迟到了，推测他坐火车来的可能性的大小？ 12、甲乙两队比赛，若有一队先胜三场，则比赛结束．假定在每场比赛中甲队获胜的概率为0.6，乙队为0.4，求比赛场数的数学期望． 13、一箱中装有6个产品,其中有2个是二等品,现从中随机地取出3个,试求取出二等品个数X的分布律. 14、甲、乙两个独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以示甲和乙的命中次数，试求X和Y的联合概率分布. 15、袋中有2只白球，3只黑球，现进行无放回摸球，且定义随机变量X和Y： X和Y分别表 ?1,第一次摸出白球?1,第二次摸出白球X??，Y??； ?0,第一次摸出黑球?0,第二次摸出黑球求：(1)随机变量(X,Y)的联合概率分布；(2)X与Y的边缘分布. 16、某射手每次打靶能命中的概率为 23，若连续独立射击5次，记前三次中靶数为X，后两次中靶数为Y, 求（1）(X,Y)的分布律；（2）关于X和Y的边缘分布律 17、设随机变量X的概率密度为 ?Axe?x,x?0， 试求（1）系数A;（2）方差D(X). f(x)??x?00,??0,?x?18、设随机变量X的分布函数为F(x)??A?Barcsin,a?1,??求：(1)确定常数 x??a?a?x?a x?aA和B；（2）X的概率密度函数. 19、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 ?Ae?(x?y),f(x,y)???0,x?0,y?0其他 求（1） A的值；（2）P{X?1,Y?2} x?1?4?e, x?0。f(x)??4?0 , x?0?20、 某工厂生产的一种设备的使用寿命X（年）服从指数分布，其密度函数为 工厂规定，设备在售出一年之内损坏可以调换，若售出一台可获利100元，调换一台设备需花费300远，试求厂方售出一台设备净获利的数学期望。 21、某种型号的器件的寿命 X（以小时计）具有以下的概率密度 ?1000?2,x?1000。现有f(x)??x?其它?0,一大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取4只，问其中至少有一只寿命大于2000小时的概率是多少？ 22、 设随机变量X的概率密度为 ?e?x,x?02f(x)??. 求Y?X的概率密度. ?0,其他223、设随机变量K服从(0,5)上的均匀分布，求方程4x?4Kx?K?2?0有实根的概率. 24、设一物体是圆截面，测量其直径，设其直径 X服从[0,3]上的均匀分布，则求横截面积Y的数学期 X2望和方差，其中Y???4. 25、设随机变量X服从正态分布N?0,1?，求随机变量函数Y?X2的密度函数。 ?20000,x?0?f(x)??(x+100)3, ?0,x?0?26、设某种药品的有效期间X以天计，其概率密度为 求：(1)X的分布函数；(2)至少有200天有效期的概率. 27、设随机变量X服从均匀分布U[0,1]，求Y??2lnX的概率密度. 28、设随机变量X的概率密度为 fX(x)?1,(x?R)，求Y?1?3X2?(1?x)的概率密度 fY(y)． 29、 设二维随机变量?X,Y?的概率密度为 ?1?(6?x?y),0?x?2,2?y?4f(x,y)??8， ?0其它? 求P{X?Y?4}. 30、设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为 ?21?x?xy,0?x?1,0?y?2 f(x,y)??，3?0,其他?试求:(1)(X,Y)的分布函数；(2)X的边缘密度函数. 31、设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为 ?6xe?3y,0?x?1,y?0 f(x,y)??，其他?0,试求 (1)X和Y的边缘密度函数；(2)P{X?0.5,Y?1}. 32、 设二维连续型随机变量?X,Y?的概率密度为 ?ke??3x?4y?,x?0,y?0 f(x,y)??0其它?（1）确定常数k； （2）讨论X,Y的独立性． 33、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数 ?2e?2x?y,f(x,y)???0,x?0,y?0其他, 求：(1)(X,Y)的分布函数； (2) 关于X的边缘分布函数. 34、设二维连续型随机向量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?6,(x,y)?R2 222?(4?x)(9?y)求：(1)(X,Y)的分布函数； (2)关于Y的边缘概率密度. 35、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 ?A(x?y)2,f(x,y)???0,x?1,y?1其他 求（1） 1A的值；（2）P{X?3,Y?}。 2 36、设(X,Y)的联合分布律为 试求：（1）边缘分布Y的分布律；（2）E(Y)；（3）D(Y2 Y X 1 2 -1 1 2 0.2 0.3 0.1 0.2 0.1 0.1 ). 37、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是 25，设X为途中遇到红灯的次数，求(1)X的分布律；(2)X的期望. 38、设盒中放有五个球，其中两个白球，三个黑球。现从盒中一次抽取三个球，记随机变量X,Y分别表示取到的三个球中的白球数与黑球数，试分别计算X和Y的分布律和数学期望. 2、设袋中有10个球，其中3白7黑，随机任取3个，随机变量X表示取到的白球数,试求： (1)、随机变量X的分布律； (2)、数学期望E(X)。 39、一台设备由三大部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.10,0.20,0.30.假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望和方差. 40、设随机变量X的概率密度 ?3x?f(x)??2，0?x?1， ?其它?0，试求：（1）概率P?X??3???； （2）2?数学期望E(X)。 41、设随机变量X的概率密度为 ?ax2?bx?c,0?x?1 f(x)??，0,其他?已知E(X)?0.5,D(X)?0.15，求系数a,b,c. 42、设X的概率密度为 ?32?x,0?x?2,2试求(1)X的分布函数；(2)数学期望E(X) f(x)??8??0,其他.43、设随机变量X代表某生物的一项生理指标，根据统计资料可认为其数学期望E?X??73，标准差 ??7．试用切比雪夫不等式估计概率P(52?X?94)． 44、设 X1,X2,?,Xn是总体 X的一个样本，若 E(X)??,D(X)??2，样本方差 1nS?(Xi?X)2，试求E(S2)。 ?n?1i?1245、已知总体X服从b(1,似然估计． p)(二点分布)，X1,X2,?,Xn为总体X的样本，试求未知参数 p的最大 46、设总体X服从正态分布N(0,?22)，其中?2是末知参数，X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个容 量为n的简单随机样本，试求?的极大似然估计量。 47、设总体X的概率密度为 ??x??1,0?x?1,其中??0是未知参数，X1,X2,?,Xn是f(x)??其它?0,1n?来自总体X的一个容量为n的简单随机样本， （1）?的矩阵估计量?；（2）判断X??Xi是否 ni?1为?的无偏估计量. (3)求?的极大似然估计量。 222 48、设X服从正态分布N(?,?)，?和?均未知参数，试求?和?的最大似然估计量. 49、设X1,X2,?,Xn是来自参数为?的泊松分布总体的一个样本,求?的最大似然估计量及矩估计量. 150、设总体X的概率密度为 ?6x?(??x),0?x??f(x)???3, X1,X2,?,Xn1是取自总体X?0,其他?的简 ?； (2)求??的方差D(??). 单随机样本；(1)求?的矩估计量?51、设总体X的概率分布律为： X 0 1 2 3 2 P p其中 2 p(1-p) p2 1-2p p (0?p?1/2) 是未知参数. 利用总体X的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3 求 (1) p的矩估计值； (2) p的极大似然估计值 . 52、设总体X的概率密度为 ??c?x?(??1),x?cf(x;?)??, 0,x?c?是未知参数，???x??. 其中c?0为已知，??1,?X1,X2,?,Xn1是来自总体X的一个容量 ?；(2)?的最大似然估计量??. 为n的简单随机样本，求(1)?的矩估计量?53、设总体值xX~N(?,2.82)，(X1,X2,?,X10)为总体X的置信水平为0.95的置信区间．（z0.05的一个样本，并且已知样本的平均 ?1500，.求 ??1.645、z0.025?1.960） x?503，样本标准差 54、有一大批糖果.现从中随机地抽取16袋，得重量(以g计)的样本平均值 S?6.2022，设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体均值?四、综合题 1、已知P(A)２、设 的置信水平为0.95的置信区间. 111?,P(BA)?,P(AB)?,求P(A?B) 432A,B是两个事件，又设P(A)?p1?0,P(B)?p2?0且p1?p2?1，证明： P(B|A)?1?1?p2P(B). 3、假设P(A)?0,试证P(B|A)?1?. p1P(A)4、已知事件 A,B,C相互独立，证明：A?B与C相互独立. 5、设 A,B是任意二事件，其中0?P(A)?1，证明：P(A|B)?P(A|B)是A与B独立的充分必 要条件. 6、设事件A、B满足P(A)?0, P(B)>0，试证明A与B独立和A与B互不相容不可能同时发生。 7、证明：P(AB?AB)?P(A)?P(B)?2P(AB) 8、某船只运输某种物品损坏2%(记为 A1),10%(记为 A2),90%(记为 A3)的概率分别为 P(A1)?0.8,P(A2)?0.15,P(A3)?0.05,现从中随机地独立地取3件,发现这3件都是好的(记为 B).试分别求P(A1B),P(A2B),P(A3B)(设物品件数很多,取出一件以后不影响取后一件的概率) 9、 假设某山城今天下雨的概率是 12，不下雨的概率是33；天气预报准确的概率是 34，不准确的概率是 14； 王先生每天都听天气预报，若天气预报有雨，王先生带伞的概率是1，若天气预报没有雨，王先生带伞的概率是 12；(1)求某天天气预报下雨的概率？(2)王先生某天带伞外出的概率？(3)某天邻居看到王先生带 伞外出，求预报天气下雨的概率？ 10、设随机变量 X的概率密度为 ?2x,0 1{X?}发生的次数，求P?Y?2?。 211、设2000件产品中有40件次品，按放回抽样连取100件，其中次品数X为随机变量． （1）写出随机变量X的概率分布律的表达式；（2）按泊松分布近似计算概率P?0?X?4?； 12、设随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，求Y?eX的概率密度. 1，两个随机变量X2，Y是相互独立且同 13、设P{X?0}?P{Y?0}?P{X?1}?P{Y?1}?分布，求随机变量Z1?max(X,Y),Z2?X?Y的分布律. １4、设二维随机变量?X,Y?是区域D内的均匀分布，D:x2?y2?1．试写出联合概率密度函数，并确定X,Y是否独立？是否相关？ 15、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 ?x2?Axy,f(x,y)???0,0?x?1,0?y?2其他 求（1） A的值；（2）两个边缘概率密度函数。 16、设随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为 ?Cx2y3,0?x?1,0?y?1 f(x,y)??，其他?0,X与Y相互独立. 试求：(1) 常数C； (2) X和Y的边缘密度函数；（３）证明 17、已知随机变量 X的概率密度为 x?1?1?e3， x?0fX(x)??3， 随机变量Y??0，x?0的概率密度 ?6e?6y， y?0，且X,Y相互独立．试求 fY(x)???0，y?0（1）、 X,Y的联合密度函数f?x,y?；（2）P?X?Y?； （３）数学期望Ｅ（XY）. 18、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数 ?6x,0?x?y?1， f(x,y)??0,其他?求（1） X,Y的边缘密度函数； （2）P(X?Y?1). X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时).已知 19、一个电子仪器由两个部件构成，以 X和Y的 ?1?e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y),x?0,y?0联合分布函数为：F(x,y)?? 0,其他.?(1) 求联合概率密度 f(x,y)（2）求X和Y的边缘概率密度(3) 判别X和Y是否相互独立. 20、已知随机变量X,Y的分布律为 X P -1 0 1 140 1214 Y P 1 1212 且P(XY?0)?1,求X,Y的联合分布律。 X??服从标准正态分布N(0,1). 21、设X?N(?,?2)，试证明Y?X与 ?22、设随机变量 Y相互独立，且都服从参数为3的泊松(Poisson)分布，试证明X?Y仍服从泊 松分布，参数为6. 23、设随机变量独立. X,Y,Z相互独立且服从同一贝努利分布B(1,p). 试证明随机变量X?Y与Z相互 24、设随机变量X的概率密度函数为 ?(k?1)xk,0?x?1, f(x)??0,其他，?137A?{X?}至少发生一次的概率为 264。 已知对X独立重复观测3次，事件（1）求常数k。 （2）为了使事件 A至少发生一次的概率超过0.95，那么对X至少要作多少次独立重 复观测。（ln0.05??2.9958,ln0.75??0.2877） 0x??1??25、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??A?Barcsinx?1?x?1， ?1x?1?试求（1）常数 A,B； （2）X的概率密度； （3）Y?2X?1的概率密度. 26、一辆飞机场的交通车送20名乘客到9个站，假设每名乘客都等可能地在任一站下车，且他们下车与否相互独立，又知交通车只在有人下车时才停车，求该交通车停车次数的数学期望。 27、设随机变量X的概率密度为 ?e?x,f(x)???0,?3Xx?0x?0， 试求：（1）X的分布函数；（2）Y的概率密度函数；（3）Y?e?X的数学期望。 28、设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为 ?32?x,0?x?2,f(x)??8 ?其他.?0,3，求常数a; 4（1）已知事件（2）求 A?{X?a}和B?{Y?a}独立，且P(A?B)?1X2的数学期望。 29、随机变量X的密度 ?a?bx2， 0?x?11f(x)??，且E?X??，求a,b及分布函数F?x?． 0，其它4?30、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 ?2?sinx,f(x,y)?????0,0?x??2其他,0?y??2 求（1）E(x),E(y)；（2）D(x),D(y)；（3）Cov(X,Y) 30、 设随机变量 X1，X2的概率密度分别为 2?e?x,f1(x)???0,x?0x?0， ?4e?4x,f2(x)???0,x?0x?0 求（1）E(X1（2）设X1，X2相互独立，求E(X1X2). ?2X2)； 21n32、设X1,X2,?,Xn是来自总体N（?，?）的一个样本，且X??Xini?11n2、D（X）、E（S）. S?(Xi?X)2, 试求E（X）?n?1i?12, 33、设X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，E(X)1??, ??2?X1是关于?D(X)??2.试证明?1?X,??2有效. ?1比?的无偏估计，并且?34、设总体X在[a,b]上服从均匀分布,其中a,b为未知参数,又x1,x2,?,xn为样本,求参数a,b的矩估计量. 35、 设总体X服从均匀分布，其概率密度为 ?1,1?x??? f(x;?)????1，?其他?0,?，判别??是否为?的无偏估计? 求?的矩估计量??及??为参数?36、设?12?????C??C?1122为 ??的两个独立的无偏估计量,且假定D(?1)?2D(?2),求常数C1及C2,使得 ?)达到最小. ?的无偏估计,并使得D(??0.195，设零件长度服从正态分布．求零 37、从一批零件中抽取18个测量其长度，得到样本标准差s件长度标准差?的置信水平为95%的置信区间． 38、设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以h计）的样本均值x燥时间总体服从N(?,?2?6，样本标准差s?0.33，设干 ).若?(h)未知,求?2的置信水平为0.95的置信区间. [ 附 正态分布、t分布、?分布数值表 ] z0.01?2.327,z0.025?1.960,z0.05?1.645,z0.10?1.282,t0.025(8)?2.306 t0.025(9)?2.2622,t0.025(10)?2.2281,t0.05(9)?1.8331,t0.05(10)?1.8125 2222?0.05(9)?16.919,?0.05(10)?18.307,?0.025(9)?19.023,?0.025(10)?20.483