第十六章 二次根式
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．在下列各式中，不是二次根式的有( ) ①－10；②10a(a≥0)；③
m32
(m，n同号且n≠0)；④x＋1；⑤8. nA．3个 B．2个 C．1个 D．0个
x＋1
2．若代数式2有意义，则实数x的取值范围是( )
（x－3）
A．x≥－1 B．x≥－1且x≠3 C．x＞－1 D．x＞－1且x≠3
3．下列计算：(1)( 2)＝2；(2) （－2）＝2；
2
(3)(－2 3)＝12；(4)(2＋3)(2－ 3)＝－1.其中结果正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列式子中为最简二次根式的是( ) A.3 B.4 C.8 D.1 2
2
25．若75n是整数，则正整数n的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．5
6．一个直角三角形的两条直角边长分别为2 3 cm，3 6 cm，那么这个直角三角形的面积是( )
A．8 2 cm B．7 2 cm
22
C．9 2 cm D.2 cm
2
2
a2＋b2a7．如果a－b＝2 3，那么代数式(－b)·的值为( )
2aa－bA.3 B．2 3 C．3 3 D．4 3 2
8．甲、乙两人计算a＋1－2a＋a的值，当a＝5的时候得到不同的答案，甲的解答是
22
a＋1－2a＋a2＝a＋（1－a）2＝a＋1－a＝1；乙的解答是a＋1－2a＋a＝a＋（a－1）＝a＋a－1＝2a－1＝9.下列判断正确的是( )
A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对 二、填空题(每小题3分，共24分)
9．已知a＜2，则（a－2）＝________． 10．计算：27－6
1
＝________． 3
22
11．在实数范围内分解因式：x－5＝____________． 12．计算：18÷3×
1
＝________． 3
11102
13．化简：(1)＝________；(2)＝________；(3)＝________；(4)
3 2122 53－1＝________．
14．一个三角形的三边长分别为8 cm，12 cm，18 cm，则它的周长是________ cm.
15．已知a是13的整数部分，b是13的小数部分，则ab＝________．
16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式．即：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为S＝
122a＋b－c2[ab－（）].已知△ABC的三边长分别为5，2，1，则△ABC的面42
222积为________．
三、解答题(共52分) 17．(10分)计算：
(1)2(12＋20)－3(3－5)；
(2)(3－2 5)(15＋5)－(10－2).
18.(10分)已知a＝7＋2，b＝7－2，求下列代数式的值：
2222
(1)ab＋ba；(2)a－b.
19．(10分)先化简，再求值：
13x＋2
·(1＋)÷2，其中x＝2 5－1.
x＋2x＋1x－1x－1
2
2
20．(10分)王师傅有一根长45米的钢材，他想将它锯断后焊成三个面积分别为2平方米、18平方米、32平方米的正方形铁框，王师傅的钢材够用吗？请通过计算说明理由．
21．(12分)阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方的形式，如3＋2 2＝(1＋2)，善于思考的小明进行了以下探索：
222
设a＋b2＝(m＋n2)(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋b2＝m＋2n＋2mn2，
22
所以a＝m＋2n，b＝2mn.
这样小明就找到了一种把类似a＋b2的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b3＝(m＋n3)，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝________，b＝________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：______＋______3＝(______
2
＋______3)；
2
(3)若a＋4 3＝(m＋n3)，且a，m，n均为正整数，求a的值．
2
2
详解详析
1．B [解析] ①的被开方数是负数，不是二次根式．②符合二次根式的定义，是二次根
22
式．③m，n同号，且n≠0，则被开方数是非负数，是二次根式．④因为x≥0，所以x＋1＞0，被开方数是正数，是二次根式．⑤的根指数不是2，所以不是二次根式．
??x＋1≥0，
2．B [解析] 由题意得? 2
?（x－3）≠0，?
解得x≥－1且x≠3.
3．D [解析] (1)根据“( a)＝a(a≥0)”可知( 2)＝2成立；(2)根据“ a＝|a|”
2
2
2
可知 （－2）＝2成立；(3)根据“(ab)＝ab”可知，计算(－2 3)，可将－2和 3分
22
别平方后，再相乘，所以这个结论正确；(4)根据“(a＋b)(a－b)＝a－b”，( 2＋3)( 2
22
－ 3)＝( 2)－( 3)＝2－3＝－1.
4．A
5．B [解析] ∵75＝25×3，∴使75n是整数的正整数n的最小值是3.故选B. 6．C
（a－b）aa－b2 3
7．A [解析] 原式＝·＝，把a－b＝2 3代入，原式＝＝3，
2aa－b22故选A.
8．D [解析] ∵a＝5，∴（1－a）＝|1－a|＝a－1.
9．2－a 10.3
11．(x＋5)(x－5) 12.2 13．(1)232
(2) (3) (4)3＋1 662
2
2
22222
14．(5 2＋2 3) [解析] 8＋12＋18＝2 2＋2 3＋3 2＝(5 2＋2
3)cm.
15．3 13－9 [解析] 根据题意，得a＝3，b＝13－3，所以ab＝3(13－3)＝ 3 13－9.
16．1 [解析] 把5，2，1代入三角形的面积公式得S＝1
（20－16）＝1，故填1. 4
17．解：(1)原式＝2(2 3＋2 5)－3 3＋3 5 ＝4 3＋4 5－3 3＋3 5 ＝3＋7 5. (2)原式＝3×15＋5 3－2
15＋4－12
[5×4－（）]＝42
5×15－10 `5－
[（10）－2×10×2＋（2）]
2
2
＝3 5＋5 3－10 3－10 5－10＋4 5－2
＝－3 5－5 3－12.
18．解：(1)原式＝ab(a＋b)．
当a＝7＋2，b＝7－2时，原式＝6 7. (2)原式＝(a＋b)(a－b)．
当a＝7＋2，b＝7－2时，原式＝8 7.
1x＋2（x＋1）（x－1）1
19．解：原式＝··＝. 2
（x＋1）x－1x＋2x＋1当x＝2 5－1时， 原式＝
5＝.
2 5－1＋110
1
20．解：不够用．理由如下： 焊成三个面积分别为2平方米、18平方米、32平方米的正方形铁框所需的钢材的总长是4(2＋18＋32)＝4(2＋3 2＋4 2)＝32 2(米)，(32 2)＝2048，45＝2025. ∵2048＞2025，∴王师傅的钢材不够用．
22
21．解：(1)m＋3n 2mn
(2)答案不唯一，如：4 2 1 1
??a＝m＋3n，
(3)根据题意，得?
?4＝2mn.?
2
2
2
2
∵2mn＝4，且m，n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2， ∴a＝7或a＝13.