2000-2017考研数学二历年真题word版 下载本文

(C)

(x,y)??0,0?limf(x,y)?f(0,0)x?y22?0.

(D)lim?fx?(x,0)?fx?(0,0)??0,且lim?fy?(0,y)?fy?(0,0)??0.

x?0??y?01??(8)设函数f(x,y)连续,则二次积分(A)(C)

???2dx?sinxf(x,y)dy等于

?dy??01??arcsinyf(x,y)dx (B)

?dy??0101??arcsinyf(x,y)dx

f(x,y)dx

?dy??01??arcsiny2f(x,y)dx (D)?dy????arcsiny2(9)设向量组?1,?2,?3线性无关,则下列向量组线性相关的是

线性相关,则

(A) (C)

?1??2,?2??3,?3??1

(B)

?1??2,?2??3,?3??1

?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ ]

?2?1?1??100?????(10)设矩阵A???12?1?,B??010?,则A与B

??1?12??000?????(A) 合同且相似 (B)合同,但不相似.

(C) 不合同,但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空题:11~16小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (11) limarctanx?sinx? __________.

x?0x3?x?cost?cos2t?(12)曲线?上对应于t?的点处的法线斜率为_________.

4?y?1?sint(13)设函数y?1,则y(n)(0)?________. 2x?32x(14) 二阶常系数非齐次微分方程y???4y??3y?2e的通解为y?________.

(15) 设f(u,v)是二元可微函数,z?f??yx??z?z,?,则x?y? __________.

?x?y?xy??0?0(16)设矩阵A???0??0100001000??0?3

,则A的秩为 . 1??0?f(x)xcost?sint????1f(t)dt?tdt,其中上单调、可导的函数,且满足???00sint?cost?4?

三、解答题:17~24小题,共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本题满分10分)设f(x)是区间?0,

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f?1是f的反函数,求f(x).

(18)(本题满分11分) 设D是位于曲线y?xa?x2a(a?1,0?x???)下方、x轴上方的无界区域. (Ⅰ)求区域D绕x轴旋转一周所

成旋转体的体积V(a);(Ⅱ)当a为何值时,V(a)最小?并求此最小值.

(19)(本题满分10分)求微分方程y??(x?y?2)?y?满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解.

y?1(20)(本题满分11分)已知函数f(u)具有二阶导数,且f?(0)?1,函数y?y(x)由方程y?xe?1所确定,设

dzz?f?lny?sinx?,求

dx

d2zx?0,dx2x?0.

(21) (本题满分11分)设函数f(x),g(x)在?a,b?上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,

f(a)?g(a),f(b)?g(b),证明:存在??(a,b),使得f??(?)?g??(?).

?x2,|x|?|y|?1?1(22) (本题满分11分) 设二元函数f(x,y)??,计算二重积分??f(x,y)d?,其中

,1?|x|?|y|?2D?x2?y2?D???x,y?|x|?|y|?2?.

(23) (本题满分11分)

?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解,求a的值及所有公共解.

?2?x1?4x2?ax3?0

(24) (本题满分11分)

设三阶对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2,?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量,记

B?A5?4A3?E,其中E为3阶单位矩阵.

(I)验证?1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (II)求矩阵B.

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2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)曲线y?x?4sinx 的水平渐近线方程为

5x?2cosx?1x2?3?0sintdt,x?0(2)设函数f(x)??x在x?0处连续,则a? .

??a,     x?0(3)广义积分

???0xdx? .

(1?x2)2y(1?x)的通解是 xdydxx?0(4)微分方程y??(5)设函数y?y(x)由方程y?1?xey确定,则 (6)设矩阵A???

?21??,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA?B?2E,则

??12? B? .

二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.

(7)设函数y?f(x)具有二阶导数,且f?(x)?0,f??(x)?0,?x为自变量x在点x0处的增量,?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若?x?0,则[ ]

(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.

(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 .

(8)设f(x)是奇函数,除x?0外处处连续,x?0是其第一类间断点,则

(A)连续的奇函数. (C)在x?0间断的奇函数

(9)设函数g(x)可微,h(x)?e

(A)ln3?1. (C)?ln2?1.

1?g(x)?x0f(t)dt是

(B)连续的偶函数

(D)在x?0间断的偶函数. [ ]

,h?(1)?1,g?(1)?2,则g(1)等于

(B)?ln3?1. (D)ln2?1.

[ ]

(10)函数y?C1ex?C2e?2x?xex满足的一个微分方程是

(A)y???y??2y?3xe. (C)y???y??2y?3xe.

xx

(B)y???y??2y?3e.

(D)y???y??2y?3e. [ ]

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xx

?(11)设f(x,y)为连续函数,则

221?x2?40d??f(rcos?,rsin?)rdr等于

01(A)

?0dx?xf(x,y)dy. (B)?220dx?1?x20f(x,y)dy.

(C)

?220dy?1?y2yf(x,y)dx. (D)

?220dy?1?y20f(x,y)dx . [ ]

(12)设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数,且?y?(x,y)?0,已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点,下列选项正确的是 [ ]

(A) 若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0.

(D) 若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0. (13)设?1,?2,,?s均为n维列向量,A为m?n矩阵,下列选项正确的是 [ ] ,?s线性相关,则A?1,A?2,,?s线性相关,则A?1,A?2,,?s线性无关,则A?1,A?2,,?s线性无关,则A?1,A?2,,A?s线性相关. ,A?s线性无关. ,A?s线性相关.

,A?s线性无关.

16.若?1,?2,17.若?1,?2,(C) 若?1,?2,(D) 若?1,?2,?110???(14)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的?1倍加到第2列得C,记P??010?,

?001???则

(A)C?PAP. (B)C?PAP.

(C)C?PAP. (D)C?PAP. [ ] 三 、解答题:15-23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

试确定A,B,C的值,使得e(1?Bx?Cx)?1?Ax?o(x),其中o(x)是当x?0时比x高阶的无穷小.

x2333?1?1TTarcsinexdx. (16)(本题满分10分)求 ?ex

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