（C）
(x,y)??0,0?limf(x,y)?f(0,0)x?y22?0.
（D）lim?fx?(x,0)?fx?(0,0)??0,且lim?fy?(0,y)?fy?(0,0)??0.
x?0??y?01??（8）设函数f(x,y)连续，则二次积分（A）（C）
???2dx?sinxf(x,y)dy等于
?dy??01??arcsinyf(x,y)dx （B）
?dy??0101??arcsinyf(x,y)dx
f(x,y)dx
?dy??01??arcsiny2f(x,y)dx （D）?dy????arcsiny2（9）设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是
线性相关，则
(A) (C)
?1??2,?2??3,?3??1
(B)
?1??2,?2??3,?3??1
?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ ]
?2?1?1??100?????（10）设矩阵A???12?1?,B??010?，则A与B
??1?12??000?????(A) 合同且相似 （B）合同，但不相似.
(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） limarctanx?sinx? __________.
x?0x3?x?cost?cos2t?（12）曲线?上对应于t?的点处的法线斜率为_________.
4?y?1?sint（13）设函数y?1，则y(n)(0)?________. 2x?32x（14） 二阶常系数非齐次微分方程y???4y??3y?2e的通解为y?________.
（15） 设f(u,v)是二元可微函数，z?f??yx??z?z,?，则x?y? __________.
?x?y?xy??0?0（16）设矩阵A???0??0100001000??0?3
，则A的秩为 . 1??0?f(x)xcost?sint????1f(t)dt?tdt，其中上单调、可导的函数，且满足???00sint?cost?4?
三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设f(x)是区间?0,
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f?1是f的反函数，求f(x).
（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线y?xa?x2a(a?1,0?x???)下方、x轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所
成旋转体的体积V(a)；（Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值.
（19）（本题满分10分）求微分方程y??(x?y?2)?y?满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解.
y?1（20）（本题满分11分）已知函数f(u)具有二阶导数，且f?(0)?1，函数y?y(x)由方程y?xe?1所确定，设
dzz?f?lny?sinx?，求
dx
d2zx?0,dx2x?0.
（21） (本题满分11分)设函数f(x),g(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，
f(a)?g(a),f(b)?g(b)，证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).
?x2,|x|?|y|?1?1（22） (本题满分11分) 设二元函数f(x,y)??，计算二重积分??f(x,y)d?，其中
,1?|x|?|y|?2D?x2?y2?D???x,y?|x|?|y|?2?.
（23） (本题满分11分)
?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及所有公共解.
?2?x1?4x2?ax3?0
（24） (本题满分11分)
设三阶对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2，?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量，记
B?A5?4A3?E，其中E为3阶单位矩阵.
（I）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵B.
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2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线y?x?4sinx 的水平渐近线方程为
5x?2cosx?1x2?3?0sintdt,x?0（2）设函数f(x)??x在x?0处连续，则a? .
??a, x?0（3）广义积分
???0xdx? .
(1?x2)2y(1?x)的通解是 xdydxx?0（4）微分方程y??（5）设函数y?y(x)由方程y?1?xey确定，则 （6）设矩阵A???
?21??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则
??12? B? .
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则[ ]
(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.
(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 .
（8）设f(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一类间断点，则
（A）连续的奇函数. （C）在x?0间断的奇函数
（9）设函数g(x)可微，h(x)?e
（A）ln3?1. （C）?ln2?1.
1?g(x)?x0f(t)dt是
（B）连续的偶函数
（D）在x?0间断的偶函数. [ ]
,h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于
（B）?ln3?1. （D）ln2?1.
[ ]
（10）函数y?C1ex?C2e?2x?xex满足的一个微分方程是
（A）y???y??2y?3xe. （C）y???y??2y?3xe.
xx
（B）y???y??2y?3e.
（D）y???y??2y?3e. [ ]
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xx
?（11）设f(x,y)为连续函数，则
221?x2?40d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
01（Ａ）
?0dx?xf(x,y)dy. （B）?220dx?1?x20f(x,y)dy.
(C)
?220dy?1?y2yf(x,y)dx. (D)
?220dy?1?y20f(x,y)dx . [ ]
（12）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是 [ ]
(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
(D) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （13）设?1,?2,,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是 [ ] ,?s线性相关，则A?1,A?2,,?s线性相关，则A?1,A?2,,?s线性无关，则A?1,A?2,,?s线性无关，则A?1,A?2,,A?s线性相关. ,A?s线性无关. ,A?s线性相关.
,A?s线性无关.
16.若?1,?2,17.若?1,?2,(C) 若?1,?2,(D) 若?1,?2,?110???（14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得C，记P??010?，
?001???则
（Ａ）C?PAP. （Ｂ）C?PAP.
（Ｃ）C?PAP. （Ｄ）C?PAP. ［ ］ 三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
试确定A,B,C的值，使得e(1?Bx?Cx)?1?Ax?o(x)，其中o(x)是当x?0时比x高阶的无穷小.
x2333?1?1TTarcsinexdx. （16）（本题满分10分）求 ?ex
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