固体物理复习与习题课

固体物理概况。

固体有晶体、非晶体、准晶体之分。

从几何结构上区分，三种材料依次为：①有周期性，导致：平移对称性与旋转对称性。②没有明确的周期性。③只有旋转对称性而没有平移对称性。即：有长程序（位置序）而没有周期性。

对于晶体，固体物理分两大部分研究，一是组成晶体的原子部分（其实这一部分是原子实，离子或原子核）。一是在整个晶体中可以自由运动或局域运动的电子部分。对于第一部分，又分两个内容：组成晶体的几何结构，晶体的结合，以及原子实振动与格波之间的关系。即，晶格静力学和晶格动力学。另外，还研究它们的缺陷问题。第二部分，形成电子的能带理论。第二部分是量子力学单电子问题的发展。

一、 几何结构

1、几个名词解释 ① 点阵、晶格

将构成晶体的原子实抽象成几何质点（结点），作用力程抽象在网线上。则：晶体的形成就可以看成是由这些几何质点在空间的分布，形成所谓的点阵。这些几何质点可以叫成结点，沿结点作平行直线族构成网格，就称为晶格。 ② 基元、原胞

如果构成晶体的原子不是一种，而是数种，则这数种原子构成一个基本的结构单元（称为基元）。这是考虑到数种原子之间结构形状会影响到晶体的性质，不能简单抽象成一个几何质点。当然，结点可以看成基元的重心或其他位置。这时，不同的结点处在不同基元的相同位置上。

在网格（或晶格）中，由于网格的周期性，可取一个以结点为顶点，边长就等于该方向上的周期的平行六面体作为重复单元，来概括晶格的特性，这样的重复单元称为原胞。

如果只考虑周期性，可取最小的重复单元，这就是固体物理原胞。若同时反映对称性，则体积不一定最小。结点不仅在顶点上，通常可以在体心或面心上，但原胞边长总是一个周期，即为结晶学原胞,或结晶学单胞(简称单胞)。

1

魏格纳原胞。从某一选定的格点到它的所有最近邻及次近邻格点连线的垂直平分面所围成的多面体称为Wigner-Seitz原胞（简称WS原胞），它也是一种周期性重复单元，亦称对称原胞，如右图所示。WS原胞保持原晶体所具有的一切对称性（平移对称、旋转对称、镜像对称和反演对称性）。WS原胞只包含一个格点，因此它具有和原胞一样的体积。

固体物理学原胞的选取有无数种，但他们有一个共同的特点，由于晶体的体积不变，所以原胞的体积相等。（参看光盘ppt原胞的特点） ③ 简单格子（Bravais格子）、复式格子

在网格（或晶格）中，基元内只含一个原子的格子称为简单格子；基元中含有两种以上原子的格子构成复式格子。在复式格子中，每个基元内的同一种原子构成一个子晶格，然后套构成复式格子。

简单格子中，固体物理原胞中只含有一个原子。 复式格子中，固体物理原胞中含有多个原子。 切记：原胞是网格的内容，基元是原子间结构而成。 具体分类：

简单格子：简单、体心（一价碱金属）、面心（贵金属，Al、Cu、Ag、Au）。 复式格子：NaCl、CsCl、金刚石、六角密集（He、Co）。

要写出简单（Sample cubic 简称sc）、体心（Body centered cubic 简称 bcc）、面心（Face centered cubic 简称fcc）、六角密集(Hekagonas closed packed 简称 hcp)等四种晶格以及一些二维晶格（包括正方形、长方形，正六边形，正三角形）的正格子原胞基矢，固体物理原胞体积，倒格矢及第一布里渊区体积，并注意图形。同时注意，基矢的选取也不是唯一的。

?????????Sc： a1?ai，a2?aj，a3?ak, ??a1?(a2?a3)?a3.

a????bcc： a1??i?j?k ,

2a???? a2?i?j?k ,

2c?1.633，Zn、Cd、Be、Mg、a???? 2

a???1? a3?i?j?k , ??a3.

22??fcc：

a???a1?j?k ,

2a???a2?k?i ,

2a??1?a3??i?j? , ??a3.

24????hcp:

3??a?a1?i?aj ,

22a?3??a2??i?aj ,

22?32?ac. a3?ck, ??2它们的倒格矢及第一布里渊区体积自己去写。关于二维情况的自己去写，其中注意hcp结构与二维正六边形结构的类同处,以及正三角形结构的写法,同时注意正六边形结构最优写法的不唯一性。 ④ 密勒指数、晶向指数

a、晶列

晶格点阵中，任意两点连成一线，一系列平行的等间距的一族直线系就叫一晶列，每一个晶列定义了一个方向，晶向。

晶向标示法──晶向指数

????Rl?l1a1?l2a2?l3a3， [l1 l2 l3] b、晶面

晶格点阵中，格点落在平行且等间距的平面系上，这族平面系即为一晶面。

晶面标示法──密勒指数

?取一族晶面，截距d，n法线方向单位矢量。则在这族晶面中，离开原点的距离等于?d的晶面的方程式为

3

??X?n??d， （μ为晶面数）

????其中,X?ra1?sa2?ta3是晶面上任意点的位矢。这里，r,s,t是坐标投影，与截距不是一回事。取一组互质数h1,h2,h3,使得

h1:h2:h3?111::， rst则，（h1,h2,h3）称为密勒指数。

可以证明，在一族晶面中，最靠近原点的晶面上(??1)任一点的位矢可写为：

?1?1?1?X?a1?a2?a3

h1h2h3?与晶向标示法中的Rl对应。所以，{h}的倒数就是晶面族（h1,h2,h3）中最靠近原点的晶面的截距，即：截距与面指数互为倒数。

可以证明，简单立方晶格中，一个晶面的密勒指数与晶面法线方向的晶向指数完全相同，这给确定晶面指数予以方便。

⑤倒格子、倒格子基矢

由晶格结构的周期性知，存在一些物理量

?????r?Rl????r?，

?ik?h?r????r?????Kh?e，

h(100)

(110

(111)

??给出， Kh?Rl?2?? , （傅里叶变换空间）

??其中，Rl为正格矢，Kh称为倒格矢。对应的格点为倒格点，形成的点阵为倒易

4