考点规范练6 函数的单调性与最值
基础巩固
1.下列函数中,定义域是R且为增函数的是( ) A.y=2-x B.y=x C.y=log2x D.y=-
2.若函数y=ax与y=-在(0,+∞)内都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)内( ) A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增
3.(2016长春质量检测)已知函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)内是单调函数,则a的取值范围是( ) A.(-∞,1] B.(-∞,-1] C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
4.已知函数f(x)=,则该函数的单调递增区间为( ) A.(-∞,1] B.[3,+∞) C.(-∞,-1] D.[1,+∞)
5.(2016安徽师大附中月考)函数f(x)=在( ) A.(-∞,1)∪(1,+∞)内是增函数 B.(-∞,1)∪(1,+∞)内是减函数 C.(-∞,1)和(1,+∞)内是增函数 D.(-∞,1)和(1,+∞)内是减函数
6.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈时,f(x)=ex+sin x,则( ) A.f(1) 7.(2016哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f,b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为( ) A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c 8.已知函数f(x)=的单调递增区间与值域相同,则实数m的值为( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1 9.已知函数f(x)=lo(x2-ax+3a)在[1,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C. D. ?导学号37270410? 10.函数f(x)=在[1,2]上的值域为 . 11.函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为 . 12.(2016北京,理14)设函数f(x)= (1)若a=0,则f(x)的最大值为 ; (2)若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是 . 能力提升 13.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞) 14.设f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,则f(x)的最小值为( ) A.0 B.2 C.- D.不存在 15.已知函数f(x)是奇函数,且在R上为增函数,当0≤θ<时,f(msin θ)+f(1-m)>0恒成立,则实数m的取值范围是 . ?导学号37270411? 16.已知f(x)=(x≠a). (1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若a>0,且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围. 高考预测 17.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若?x1∈,?x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是( ) A.a≤1 B. a≥1 C.a≤0 D.a≥0 ?导学号37270412? 参考答案 考点规范练6 函数的 单调性与最值 1.B 解析 由题知,只有y=2-x与y=x的定义域为R,且只有y=x在R上是增函数. 2.B 解析 因为函数y=ax与y=-在(0,+∞)内都是减函数,所以a<0,b<0. 所以y=ax2+bx的图象的对称轴方程x=-<0.故y=ax2+bx在(0,+∞)内为减函数,选B. 3.A 解析 因为函数f(x)在(-∞,-a)内是单调函数,所以-a≥-1,解得a≤1. 4.B 解析 设t=x2-2x-3,由t≥0, 即x2-2x-3≥0, 解得x≤-1或x≥3. 故函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞). 因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1, 所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增. 所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞). 5.C 解析 由题意可知函数f(x)的定义域为{x|x≠1}, f(x)=-1. 又根据函数y=-的单调性及有关性质,可知f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)内是增函数. 6.D 解析 由f(x)=f(π-x),得f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3). 由f(x)=ex+sin x,得函数f(x)在内单调递增. 又-<π-3<1<π-2<, ∴f(π-2)>f(1)>f(π-3). ∴f(2)>f(1)>f(3). 7.D 解析 因为函数f(x)的图象关于直线x=1对称, 所以f=f 由x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,知f(x)在(1,+∞)内单调递减. 又1<2< 8.B 解析 ∵-x2+2mx-m2-1=-(x-m)2-1≤-1, 2. ∴f(x)的值域为[2,+∞). ∵y1=在R上单调递减,y2=-(x-m)2-1的单调递减区间为[m,+∞), ∴f(x)的单调递增区间为[m,+∞).由条件知m=2. 9.D 解析 设y=f(x),令x2-ax+3a=t. ∵y=f(x)在[1,+∞)内单调递减, ∴t=x2-ax+3a在[1,+∞)内单调递增,且满足t>0. 解得- ∴实数a的取值范围是故选D. 10 解析 ∵f(x)==2-在[1,2]上是增函数, ∴f(x)max=f(2)=,f(x)min=f(1)=1. ∴f(x)的值域是 11.3 解析 因为y=在R上单调递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减. 所以f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3. 12.(1)2 (2)(-∞,-1) 解析 令g(x)=x3-3x,φ(x)=-2x.由g'(x)=3x2-3=0,得x=±1.可判断当x=1时,函数g(x)的极小值为-2;当x=-1时,函数g(x)的极大值为2,且g(x)与x轴的交点为(-,0),(0,0),(,0).又g(x)与φ (x)图象的交点为A(-1,2),O(0,0),B(1,-2),故可作出函数g(x)与φ(x)的大致图象如图所示. (1)当a=0时,f(x)=可知f(x)的最大值是f(-1)=2. (2)由图象知,当a≥-1时,f(x)有最大值f(-1)=2;当a<-1时,有a3-3a<-2a,此时f(x)无最大值,故a的取值范围是(-∞,-1). 13.D 解析 由题意可得a>x-(x>0). 令f(x)=x-,函数f(x)在(0,+∞)内为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+∞),故存在正数x使原不等式成立时,a>-1. 14.A 解析 在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=x2+3x+2的图象,由f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,可得f(x)的图象如下图实线部分,求f(x)的最小值即求最低点的纵坐标,由图可得,当x=-2时,函数f(x)有最小值0,故选A. 15.(-∞,1) 解析 ∵f(x)是奇函数, ∴f(msin θ)+f(1-m)>0可化为f(msin θ)>-f(1-m)=f(m-1). 又f(x)在R上是增函数, ∴msin θ>m-1, 即m(1-sin θ)<1, “当0≤θ<时,f(msin θ)+f(1-m)>0恒成立”等价于“当0≤θ<时,m(1-sin θ)<1恒成立,即m<恒成立”. ∵0<1-sin θ≤1,1. ∴m<1. 16.(1)证明 当a=-2时,f(x)=(x≠-2). 设任意的x1,x2∈(-∞,-2),且x1 ∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1) ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)解 任设1 则f(x1)-f(x2)= = ∵a>0,x2-x1>0, ∴要使f(x1)-f(x2)>0, 只需(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)内恒成立,∴a≤1. 综上所述,a的取值范围是(0,1]. 17.C 解析 当x时,f(x)≥2=4,当且仅当x=2时,f(x)min=4,当x∈[2,3]时,g(x)为增函数,故g(x)min=22+a=4+a. 依题意可得f(x)min≥g(x)min,解得a≤0.