人教版九年级上学期同步讲练专题21-3:实际问题与一元二次方程 下载本文

专题03 21.3实际问题与一元二次方程讲、练

一、知识点

列一元二次方程解应用题

(1)解题步骤:①审题;② 设未知数;③ 列一元二次方程;④解一元二次方程;⑤检验根是否有意义;⑥作答.

(2)应用模型:一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.

①平均增长率(降低率)问题:公式:b=a(1±x)n,a表示基数,x表示平均增长率(降低率),n表示变化的次数,b表示变化n次后的量;

②利润问题:利润=售价-成本;利润率=利润/成本×100%; (期末必考一道大题) ③传播、比赛问题:

④面积问题:a.直接利用相应图形的面积公式列方程;b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形,运用面积之间的关系列方程.

注意:运用一元二次方程解决实际问题时,方程一般有两个实数根,则必须要根据题意检验根是否有意义.

二、标准例题:

例1:在一幅长200cm,宽160cm的硅藻泥风景画的四周,增添一宽度相同的装饰纹边,制成一幅客厅装饰画,使得硅藻泥风景画的面积是整个客厅装饰画面积的78%.设装饰纹边的宽度为xcm,则可列方程为( )

A.(200?x)(160?x)?78%?200?160 B.(200?x)(160?x)?200?160?78% C.(200?2x)(160?2x)?78%?200?160 D.(200?2x)(160?2x)?200?160?78% 【答案】C

【解析】解:设装饰纹边的宽度为xcm,则装饰画的长为(200+2x)cm、宽为(160+2x)cm, 根据题意得:(200+2x)(160+2x)×78%=200×160. 故选:C.

总结:本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 例2:要在一个长为40m,宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植

花草的面积为864m2,那么小道的宽度应是____m.

【答案】2 【解析】

解:设小道的宽为x米,依题意得 (40-2x)(26-x)=864, 解之得

x1=44(舍去),x2=2. 故答案为:2.

总结:本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是根据种植花草的面积为864m2找到正确的等量关系并列出方程.

例3:某地2017年为做好“旧械改造工程”。投入资金1280万元用于拆迁安置,并规划投入资金按相同幅度逐年增加,预计到2019年年底投入资金比2017上基础上增加1600万元. (1)从2017年到2019年,该地投入拆迁安置资金的年平均增长率为多少?

(2)在2019年拆迁安置的具体实施中,该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励,规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元,1000户以后每户每天奖励5元.按每户租房400元计算,求2019年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.

【答案】(1)从2015年到2017年,地投入异地安置资金的年平均增长率为50%;(2)2017年该地至少有

1900户享受到优先搬迁租房奖励.

【解析】

解:(1)设该地投入拆迁安置资金的年平均增长率为x, 根据题意得:1280?1?x??1280?1600, 解得:x1?0.5?50%,x2??2.5(含去).

答:从2015年到2017年,地投入异地安置资金的年平均增长率为50%. (2)设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励, 根据题意得:8?1000?400?5?400?a?1000??5000000 解得:a?1900

2

答:2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励

例4:随着旅游旺季的到来,某旅行社为吸引市民组团取旅游,推出了如下收费标准:

某单位组织员工旅游,共支付给该旅行社费用27000元,请问该单位这次共有多少员工取旅游? 【答案】单位这次共有30名员工去旅游 【解析】解:设该单位这次共有x名员工去旅游

Q25?1000?25000?27000

?旅游的员工人数一定超过25人

根据题意得??1000?20?x?25???x?27000 整理得,x2?75x?1350?0

?x?45??x?30??0

解得x1?45,x2?30

当x?45时,1000?20?x?25??600?700,?x1?45不合题意应舍去 当x?30时,1000?20?x?25??900?700,?x1?30符合题意 答:该单位这次共有30名员工去旅游.

例5:已知:如图,在Rt?ABC中,?C?90?,AC?8cm,BC?6cm.直线PE 从B点出发,以2 cm/s的速度向点A方向运动,并始终与BC平行,与线段AC交于点E.同时,点F从C点出发,以1cm/s的速度沿CB向点B运动,设运动时间为t(s) (0?t?5) . (1)当t为何值时,四边形PFCE是矩形?

(2)当?ABC面积是?PEF的面积的5倍时,求出t的值;

【答案】(1)t?【解析】

305?5;(2)t?。 112解:(1)在Rt?ABC中,Q?C?90,AC?8,BC?6,

??AB?AC2?BC2?82?62?10

PAPEAE10?2tPEAE??,??? ABBCAC106834?PE?(10?2t),AE?(10?2t),当PE?CF时,四边形PECF是矩形,

55330?(10?2t)?t 解得t? 5112422411t?t???6?8 (2)由题意?25552QPE//BC,?整理得t2?5t?5?0,解得t?5?5 2?t?5?5,?ABC面积是?PEF的面积的5倍。 2三、练习

1.某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时,每天可售出300件.经调查当单价每涨l元时,每天少售出10件.若商场想每天获得3750元利润,设每件玩具涨x元,可列方程为:(30?x?20)(300?10x)?3750.对所列方程中出现的代数式,下列说法错误的是( )

A.(30?x)表示涨价后玩具的单价 B.10x表示涨价后少售出玩具的数量 C.(300?10x)表示涨价后销售玩具的数量