专题03 21.3实际问题与一元二次方程讲、练

一、知识点

列一元二次方程解应用题

（1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．

（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.

①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；

②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； （期末必考一道大题） ③传播、比赛问题：

④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.

注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.

二、标准例题：

例1：在一幅长200cm，宽160cm的硅藻泥风景画的四周，增添一宽度相同的装饰纹边，制成一幅客厅装饰画，使得硅藻泥风景画的面积是整个客厅装饰画面积的78%.设装饰纹边的宽度为xcm，则可列方程为（ ）

A．(200?x)(160?x)?78%?200?160 B．(200?x)(160?x)?200?160?78% C．(200?2x)(160?2x)?78%?200?160 D．(200?2x)(160?2x)?200?160?78% 【答案】C

【解析】解：设装饰纹边的宽度为xcm，则装饰画的长为（200＋2x）cm、宽为（160＋2x）cm， 根据题意得：（200＋2x）（160＋2x）×78%＝200×160． 故选：C．

总结：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 例2：要在一个长为40m,宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植

花草的面积为864m2,那么小道的宽度应是____m.

【答案】2 【解析】

解：设小道的宽为x米，依题意得 (40-2x)(26-x)=864， 解之得

x1=44（舍去）,x2=2. 故答案为：2.

总结：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为864m2找到正确的等量关系并列出方程.

例3：某地2017年为做好“旧械改造工程”。投入资金1280万元用于拆迁安置，并规划投入资金按相同幅度逐年增加，预计到2019年年底投入资金比2017上基础上增加1600万元. （1）从2017年到2019年，该地投入拆迁安置资金的年平均增长率为多少？

（2）在2019年拆迁安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元.按每户租房400元计算，求2019年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.

【答案】（1）从2015年到2017年，地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；（2）2017年该地至少有

1900户享受到优先搬迁租房奖励.

【解析】

解：（1）设该地投入拆迁安置资金的年平均增长率为x， 根据题意得：1280?1?x??1280?1600， 解得：x1?0.5?50%，x2??2.5（含去）.

答：从2015年到2017年，地投入异地安置资金的年平均增长率为50%. （2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励， 根据题意得：8?1000?400?5?400?a?1000??5000000 解得：a?1900

2

答：2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励

例4：随着旅游旺季的到来，某旅行社为吸引市民组团取旅游，推出了如下收费标准：

某单位组织员工旅游，共支付给该旅行社费用27000元，请问该单位这次共有多少员工取旅游？ 【答案】单位这次共有30名员工去旅游 【解析】解：设该单位这次共有x名员工去旅游

Q25?1000?25000?27000

?旅游的员工人数一定超过25人

根据题意得??1000?20?x?25???x?27000 整理得，x2?75x?1350?0

?x?45??x?30??0

解得x1?45,x2?30

当x?45时，1000?20?x?25??600?700,?x1?45不合题意应舍去 当x?30时，1000?20?x?25??900?700,?x1?30符合题意 答：该单位这次共有30名员工去旅游.

例5：已知:如图，在Rt?ABC中，?C?90?，AC?8cm，BC?6cm.直线PE 从B点出发，以2 cm/s的速度向点A方向运动，并始终与BC平行，与线段AC交于点E.同时，点F从C点出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动，设运动时间为t(s) (0?t?5) . (1)当t为何值时，四边形PFCE是矩形?

(2)当?ABC面积是?PEF的面积的5倍时，求出t的值;

【答案】（1）t?【解析】

305?5；（2）t?。 112解：（1）在Rt?ABC中，Q?C?90,AC?8,BC?6，

??AB?AC2?BC2?82?62?10

PAPEAE10?2tPEAE??,??? ABBCAC106834?PE?(10?2t),AE?(10?2t)，当PE?CF时，四边形PECF是矩形，

55330?(10?2t)?t 解得t? 5112422411t?t???6?8 （2）由题意?25552QPE//BC,?整理得t2?5t?5?0，解得t?5?5 2?t?5?5，?ABC面积是?PEF的面积的5倍。 2三、练习

1．某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件.经调查当单价每涨l元时，每天少售出10件.若商场想每天获得3750元利润，设每件玩具涨x元，可列方程为：(30?x?20)(300?10x)?3750.对所列方程中出现的代数式，下列说法错误的是（ ）

A．(30?x)表示涨价后玩具的单价 B．10x表示涨价后少售出玩具的数量 C．(300?10x)表示涨价后销售玩具的数量