物理竞赛复赛模拟卷

1.μ子的电量q=-e(e=1.6×10-19C)，静止质量m0=100MeV/c2，静止时的寿命τ0=10-6s。设在地球赤道上空离地面高度为h=104m处有一μ子以接近于真空中光速的速度垂直向下运动。

1）、试问此μ子至少应有多大总能量才能到达地面？2）、若把赤道上空104m高度范围内的地球磁场看作匀强磁场，磁感应强度B=10-4T，磁场方向与地面平行。试求具有第1问所得能量的μ子在到达地面时的偏离方向和总的偏转角。

北zB西xOy南2. 热中子能有效地使铀235裂变，但裂变时放出的中子能量代谢较高，因此在核反应堆中石墨作减速剂。若裂变放出的中子动能为2.2MeV，欲使该中子慢化为热中子（动能约为0.025eV），问需经过多少次对撞？

3. 半径为R、质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重

物分别用细绳，AD和ACE悬挂于同一点A，并处于平衡，如图11-205所示，已知悬点A到球心O的距离为L，不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB

A?TDOBM1gNCE

M2g

的夹角θ。

4. 火车以速度v1向前行驶。司机忽然发现，在前方同一轨道上距车为s处

有另一辆火车，它沿相同的方向以较小的速度v2作匀速运动，于是他立即使车作匀减速运动，加速度大小为a，要使两车不致相撞，则a应满足的关系式为_____________________。

5．如图所示，有一个一端开口、一端封闭的长圆柱形导热容器，将其开口向上竖直放置。在气温为27℃、气压为760mmHg、相对湿度为75%时，用一质量可不计的光滑薄活塞将开口端封闭。已知水蒸气的饱合蒸气压为26.7mmHg，在0℃时为4.5mmHg。（1）若保持温度不变，想通过在活塞上方注入水银加压强的方法使管内开始有水珠出现，那么容器至少为多长？（2）若在水蒸气刚开始凝结时固定活塞，降低容器温度，当温度降至0℃时，容器内气体压强为多大？

水银活塞

6．一个静止的竖直放置的玻璃管，长为H=23cm，粗细均匀，开口向下，其内有一段长为h=10cm的水银柱，把长为L0=10cm的空气柱封闭在管的上端。设外界大气压强p0=1.0×105Pa，求当管以20m/s2的加速度上升时，管中封闭的

气柱长为多少厘米？（取g=10m/s2，水银密度ρ=1.4×104kg/m3）

7．如图所示，用导热材料制成的两端开口的U型管ABCD，其中AB高h=24cm，CD高L2=20cm，截面积分别为SAB=1cm2，SCD=2cm2，开始时两管均有高h=16cm的水银柱，现用两个橡皮帽将两个管口封闭，打开下方的阀门K，用注射器从底部缓慢抽出水银，当其中的一个管内的A水银被抽干时立即关闭阀门K。（已知大气压强为p0=75cmHg）

BDhK（1）请你判断首先被抽干的是哪一管中的水银？ （2）另一只管中剩余的水银柱高度为多少？

C

8．如图（a）所示，水平固定的圆筒由足够长粗筒和细筒相接而成，筒中有直径不同的两个活塞A、B用一根细绳相连，活塞B通过水平细绳、定滑轮与一个质量为m=2.0kg的重物C连接，A、B两活塞的横截面积分别为S1=20cm，

2

LALB（a）

S2=10cm2。当两活塞封闭的空气柱温度为t=327℃时，两活塞保持静止，此时两活塞分别与大小圆筒的相接面的距离均为L，已知大气压强p0=1.0×105Pa，活塞与筒壁、滑轮与轮轴间的摩擦均可忽略不计，取g=10m/s2，求：

（1）此时筒内两活塞间气柱的压强为多大？

?（2）当筒内气柱的温度缓慢降到27C时，活塞A能否向右移动距离L，

试说明理由。

?（3）当气柱温度降到27C时，筒内气柱的压强为多大？（在整个变化过

程中，A、B绳子始终有作用力）。

9. 众所周知，在沙漠中能观察到蜃楼现象，假设在近大地的空

i3i2i1

n4气层中，光速按c(z)=c(1-az)规律变化，式中c为光沿地面的速度，

00

n3n2z为离地高度。试问：观察者观察到蜃楼现象时，估计真实景物离n1他多远？设观察者身高为h。

10.如图所示，在内半径为r、外半径为R，折射率为n1的玻璃管

r中充满了折射率为n2的发光液体，试问，从远处看，当管的厚度消

Rn1n2失时，r和R应满足什么条件？

11. 空气中放一个半径为R、折射率为n

的玻璃球，两支相距d<2R的平行细光束相对球心对称地射到球上，两支光束与球心共面，

d2d2α R?α ?2

如图所示。

（1）为使两支光束在球内有实交点，d与n之间必须满足什么样的关系？ （2）为使两支光束对任何d<2R均在球外有实交点，n可取哪些值？

12．如图所示，半径为R的绝缘圆环由直径AB分成的两半部分各均匀带有正、负电荷。正负电荷的电量都是Q。

(1)试证明过直径AB的直线是一条电势为零的等势线。

(2)求带正电的半圆环所激发的电场在环心O点的电势。

aD????A??O??C????Bb

??

1.μ子的电量q=-e(e=1.6×10-19C)，静止质量m0=100MeV/c2，静止时的寿命τ0=10-6s。设在地球赤道上空离地面高度为h=104m处有一μ子以接近于真空中光速的速度垂直向下运动。

1）、试问此μ子至少应有多大总能量才能到达地面？2）、若把赤道上空104m高度范围内的地球磁场看作匀强磁场，磁感应强度B=10-4T，磁场方向与地面平行。试求具有第1问所得能量的μ子在到达地面时的偏离方向和总的偏转角。

分析：利用时间膨胀公式可将地球上观测到的?子的

北zB西xOy南寿命?与静止系中的寿命?0建立联系。对地球上的观察者而言，?子为能达到地面，所具速度必须保证它在?时间内走完全程。利用质能公式可得?子的相应能量。由于?子的动能比重力势能大得多，重力影响可忽略。又因地磁场引起的偏转较小，计算第1问时可不考虑洛伦兹力，因此，可把?子近似看成作匀速直线运动。

求解第2问时，必须考虑由地磁场引起的洛伦兹力，此力使?子产生偏转。因洛伦兹力对?子不做功，故其能量保持常值。根据动力学方程和质能公式可写出?子坐标所遵从的微分方程，解此微分方程即可求得偏转量。?子除受洛伦兹力外，还受地球自转引起的科星奥利力的作用，它对?子偏转的影响应作一估算。

解：（1）近似地把?子看成是作匀速直线运动，速度为?，到达地面所需地球时间为

t?h??hc

为能到达地面，需满足

t??

式中?为地球观察者测得的?子寿命，它与?0的关系为

?? 由质能公式，?子的能量为

?01??2c2

E? 给合以上诸式，有

m0c21??2c2

E?m0c2?tmch?m0c2?0?0t0?0

代人数据，?子至少应有能量

E?

m0ch?0100?1043?MeV?3.3?10MeV8?63?10?10

（2）、如图所示，取直角坐标系Oxyz，原点O在地面，x轴指向西，y轴垂直于地面向上指向北。?子的初始位置和初速度为

x?0??0 x?0??0 y?0??h y?0???? z?0??0 z?0??0 磁场B与z轴方向一致，?子所受洛伦兹力为 F??e??B

?子的动力学方程为

dp?F??e??B dt

其中

p?m??E?c2 E=常量

id?c2ec2e??y?r??????B??x?zdtEE0 0 B

成分量形式为

jkc2eBc2eB?????,????xyyxEE （1） （2）

（1）式对t求导后再将（2）式代入，得

????2x??0 x ?式中

c2eB??E

上述方程的解为

????co?s?t??? x????t????x?x?sin?

因此，有

2c2eBceB??????????sin??t?????xy?sin??t???EE

故得

????t??? y??sin

??y??co?s?t????y??

初条件为

??0????co?s?0 x??x?0??sin??x??0?

??0????sin???? y??y?0???co?s?h?

得

????,????2

???x???,y??h??

最后得?子的坐标为

x???????sinst???t?????1?co???2??? ?????co?s?t???h?h?sin?t??2??

y??到达地面时，y=0，即有

?hc2eBhsin?t???E?

因??c，有

8?44ceBh3?10?10?10sin?t???0.0919E3.3?10

2???h?2?1??h?1?co?st?1??1???????2??????????

12?子到达地面时的x坐标为

2?1??h?x地?????2???

朝x方向（向西）的偏转角为

x地?h1?????0.09r1ad?0.046radh2?2

落地点向西偏离的距离为

4x?ha?10?0.046m?460m 地

?子落地过程需时

t???

?01??2c2?3.3?10?5s

此阶段地球表面一点转过的距离为

s?R?地t?6.4?106?2??3.3?10?5m?0.015m24?3600

可见，s?x地，即由地球自转引起的偏离可以忽略。

2. 热中子能有效地使铀235裂变，但裂变时放出的中子能量代谢较高，因此在核反应堆中石墨作减速剂。若裂变放出的中子动能为2.2MeV，欲使该中子慢化为热中子（动能约为0.025eV），问需经过多少次对撞？

解：运动的中子与石墨中静止的碳原子碰撞可作为弹性碰撞处理。设第k次碰拼音字母前中子速度大小为?k?1，碰后速度 大小为?k，由动量守恒和能量守恒可得

?k?mC?mn?k?1mC?mn

式中mC.mn分别为碳原子、中子的质量，近似有mc?12mn。于是?k可表述

为

?mc?mn??11??VK??V??V0?m?m?0??13?n??c

KK 初始的中子??对应动能E??2.2MeV，碰撞k次后的动能取为

Ek?0.025eV，则有

m?mn2kE???213?2?(C)?()2kEmC?mn11 k?k

两边取对数解得

k?54.8 取整数后为

k?55(次)

3. 半径为R、质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重物分别用细绳，AD和ACE悬挂于同一点A，并处于平衡，如图11-205所示，已知悬点A到球心O的距离为L，不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的夹角θ。

分析：在平衡条件下，一个物体受到三个共点力作用时，这三个力的作用线必相交于一点。这是平衡问题的一个基本结论，本题就是一例。

解：作用在球上的力有重力M1g,AD绳的拉力T和ACE绳的压力N。由于不考虑绳与球的摩擦，所以N的方向沿半径指向球心，重力也是通过球心的。由于球平衡，所以绳AD的拉力也必过球心，因此可判断绳一定沿OA方向（如

图11-206）。

A?T对球和重物组成的系统，根据平衡条件，M1g和M2g对A点的力矩大小相等，即

NCEDOBM1g M1g?OB?M2g?BC （1）

?,BC?R?Lsin? 由图可知 OB?LsinM2g图11-206

代入（1）式，可解得

sin??

M2gL(M1?M2)

??M2R??L(M1?M2)?

??arcsin?4. 火车以速度v1向前行驶。司机忽然发现，在前方同一轨道上距车为s处

有另一辆火车，它沿相同的方向以较小的速度v2作匀速运动，于是他立即使车作匀减速运动，加速度大小为a，要使两车不致相撞，则a应满足的关系式为_____________________。

分析： 司机使火车作匀减速运动，当后面的火车与前方火车时的速度相等时，两车再也不能接近了，也就是后面的火车与前面火车的速度相等时，后面火车的位移与前面火车的位移之差要小于s时，两车才不致相撞，本题解法中有四种。

解法一：当两车速度相等时，两车没有相撞，以后再也不会相撞，前车减速的时间为t，则

t?(v1?v2)(v?v)ts1?12a2 s2?v2t

(v1?v2)t(v1?v2)2(v1?v2)2s1?s2???sa?22a2s

解法二：以前车为参照系，后车的速度为v?(v1?v2)，当后车的速度减为零时，其位移小于s，两车不会相撞，即

(v1?v2)2(v1?v2)2?s,a?2a2s。

??1?2O解法三：作出两车运动的速度—时是图像如图12-34所示，由图像可知：在两图像相交前与时间轴所围面积之差（即图中阴影部分）小于

tt图12-34

s时，两车不会相撞。

(v1?v2)2(v1?v2)2?s,a?2a2s即

at2s1?v1t?2，前车的位移为s2?v2t，要使两车不解法四：后车的位移为

相撞，即

at2s1?s2?(v1?v2)t??s2， at2?(v1?v2)t?s?02

说明此二次函数无解，即

(v1?v2)2a???(v1?v2)2?2as?0，2s。

以上四种解法中，以第二种解法最简捷。

5．如图24-28所示，有一个一端开口、一端封闭的长圆柱形导热容器，将其开口向上竖直放置。在气温为27℃、气压为760mmHg、相对湿度为75%时，用一质量可不计的光滑薄活塞将开口端封闭。已知水蒸气的饱合蒸气压为26.7mmHg，在0℃时为4.5mmHg。（1）若保持温度不变，想通过在活塞上方注入水银加压强的方法使管内开始有水珠出现，那么容器至少为多长？（2）若在水蒸气刚开始凝结时

水银活塞图24-28

固定活塞，降低容器温度，当温度降至0℃时，容器内气体压强为多大？

分析：当活塞上加入水银时，密闭管内的空气和水蒸气的压强均增大，当水蒸气的压强达到饱和气压后，管内开始有水珠出现。

解：（1）灌水银前空气柱中水蒸气的压强为

p汽?3p饱4

设容器长为l0，空气柱长度减小到l时，水蒸气达饱和状态，根据玻意耳定律有

p汽?l0?p饱?l，

l?3l04，

即

此时活塞上下方压强分别为

1??p上??760?l0?mmH,g4??

p下?4p0.3

因 p上?p下

14760?l0??760,43有

mm. 即 l0?1013（2）水珠体积可以忽略，开始时，容器内干燥空气压强应为

?4?p1???760?26.7?mmHg?98.63mmHg.?3?

因活塞固定，气体降温过程等容，故有

??p1273p1?897.5mmHg.273?27

容器内气体总压强为

??p2??897.5?4.58 p??p1

?902.1mmH g6．如图24-31所示，一个静止的竖直放置的玻璃管，长为H=23cm，粗细均匀，开口向下，其内有一段长为h=10cm的水银柱，把长为L0=10cm的空气柱封闭在管的上端。设外界大气压强p0=1.0×105Pa，求当管以20m/s2的加速度上升时，管中封闭的气柱长为多少厘米？（取g=10m/s2，水银密度ρ=1.4×104kg/m3）

解：管加速上升时，水银柱所受合力向上，管内气体对水银柱的压强应减小，管内气体体积应增大，由于管长度一定，有可能使管内水银溢出的情况。设当管加速上升时，封闭气柱压强为P，长为L，水银柱质量为m，对于气柱，根据玻意耳定律得

(P0??gh)L0S?pLS （1） 对水银柱根据牛顿定律有

p0S?PS?mg?ma （2）

又 m??gh （3）

得 P?P0??h(g?a) （4） 由（1）、（4）式得

L?

(P0??gh)L0?0.15(m)?15cmP0??h(g?a)

因为 L?h?25cm?H?23cm

所以加速上升时，水银将溢出管外。这时设余下水银柱长为h?，其质量为m?，封闭气柱压强为P?，长为L?。对水银柱，根据牛顿第二定律有

p0S?P?S?m?g?m?a （5）

又有 m???h?S （6）

所以 P??P0??h(g?a) （7） 对封闭气柱，根据玻意耳定律有

(P0??gh)L0S?P?L?S （8）

此时 L??H?h? （9） 把（7）式、（9）式代入（8）式并化简得

2??(g?a)h?[P0??(g?a)H]h??P0H?(P0??gh)L0?0

代入数值，并化简有

2 8h??1.97h??0.144?0

??0.09m?9.0cm,h2??0.38m（大于H舍去） 解得 h1

2所以正在以a?20m/s加速度上升的玻璃管，其上端封闭的气柱长为

L??H?h??23?9.0?14(cm)

7．如图24-55所示，用导热材料制成的两端开口的U型管ABCD，其中AB高h=24cm，CD高L2=20cm，截面积分别为SAB=1cm2，SCD=2cm2，开始时两管均有高h=16cm的水银柱，现用两个橡皮帽将两个管口封闭，打开下方的阀门K，用注射器从底部缓慢抽出水银，当其中的一个管内A的水银被抽干时立即关闭阀门K。（已知大气压强为p0=75cmHg）

BDhK（1）请你判断首先被抽干的是哪一管中的水银？ （2）另一只管中剩余的水银柱高度为多少？

解：求解这一类题时，应根据可解的情况先做出必要的假设，然后按着所做出的假设进行推理，在推理过程中，对所做假设做出否定或认同即可求解。

假设左管内水银先被抽干，并设这时右管内剩余水银柱的高度为?，对左管内封闭气体用玻意耳定律有

图24-55

C?V1? p1V1?p1可得

??p1V1?24?16?S?75?25cmHgp1?V1?24S

所以右管内气体压强为

???25???cmH g p2再对右管内被封气体，根据玻意耳定律得： 75?20?16?SCD??25????20???SCD

整理得：

2?0 ??45??200? 解得：??5cm或40cm?不合题意舍去在根据以上假设列的方程中，有满足题设的实数解，故所做假设成立，即左管内水银先抽干，且此时右管内剩余水银柱高度为5cm。

8．如图24-57（a）所示，水平固定的圆筒由足够长粗筒和细筒相接而成，筒中有直径不同的两个活塞A、B用一根细绳相连，活塞B通过水平细绳、定滑轮与一个质量为m=2.0kg的重物C连接，A、B两活塞的横截面积分别为S1=20cm，S2=10cm。当两活

2

2

LALB图24-57（a）

塞封闭的空气柱温度为t=327℃时，两活塞保持静止，此时两活塞分别与大小圆筒的相接面的距离均为L，已知大气压强p0=1.0×105Pa，活塞与筒壁、滑轮与轮轴间的摩擦均可忽略不计，取g=10m/s2，求：

（1）此时筒内两活塞间气柱的压强为多大？

?（2）当筒内气柱的温度缓慢降到27C时，活塞A能否向右移动距离L，

试说明理由。

?（3）当气柱温度降到27C时，筒内气柱的压强为多大？（在整个变化过

程中，A、B绳子始终有作用力）。

解：（1）将活塞A、B（包括连接两活塞的细绳）作为整体，其受力如图答24-57（b）所示，根据物体的平衡条件得

p1S1?p0S2?p1S2?p0S1?mg （1）

mgp1??p0?1.2?105paS1?S2

（2）当气体的温度缓慢降低时，气体的压强P在减小，由（1）

p1S1p0S1p0S2p1S2F?mg图24-57（b）

式可知当式中的p1（气体的压强）在减小时，由于S1?S2，故方程 左边比右边小，平衡被破坏，这就意味着向右的作用力大于向左的作用力，故活塞右移，使气体的体积减小，压强增大，可以认为是一个等压过程（直到活塞与细筒侧壁相接触时为止），活塞不能无限制地向右移动，当活塞A移到与粗、细圆筒的交接处时，不再移动。设活塞刚好移到两筒交接处时气体的温度为T，此时活塞对细筒侧壁无相互作用力，在等压过程中，有

V1V? T1T

其中

V1?LS1?LS2?3LS2，V?2LS2，

T1?600K，

T?VT1?400K?T2?300KV1

?故当筒内气体的温度缓慢降至27C，活塞A能向右移动距离L。

?（3）当筒内气体的温度缓慢降至27C，其末态有：

V2?2LS2?300KT2

由理想气体状态方程

PPVVT3P1V11?22P2?12P??0.9?105Pa1T2，V2T14 T1

9. 众所周知，在沙漠中能观察到蜃楼现象，假设在近大地的空气层中，光

i3i2i1 图33-41

n4n3度。试问：观察者观察到蜃楼现象时，估计真实景物离他多远？设n2n1观察者身高为h。

速按c(z)=c0(1-az)规律变化，式中c0为光沿地面的速度，z为离地高

解：光在沙漠上空气中的传播速度随离地面高度的增加而减少，

这意味着贴近地面的空气的折射角比上层空气要小，致使远处来的光线在射向地面时，不断被折射，入射角逐渐增大。当光线射到贴近地面大气层的入射角大于临界角时，就发生全反射现象。

如图33-41所示，将近大地的空气层划分为多个间距很小的层面，每个层面都与大地平行，这样可认为光速在某一层面的不同高度处相同（即可视为折射率相同）。设各层介质的折射率分别为n1、n2、n3…光速与分界面法线的夹角分别为i1、i2、i3…由折射定律可得

n1sini1?n2sini2?n3sini3???常数。

c1n??0?c?z?1?az， 即 n?sini??常数。而

i?Li?图33-42

且在地面附近处c?c0,i?90?， 故 sini???1?az?

由图33-42可见，上式是一个圆方程，这说明光线在不均匀空气中是沿圆弧传播的。设圆半径为R，则

sini??R?z1?1?zRR

故

R?1a

另由几何关系得

22 L??R?z??R

2并将z=h代入上式可得

L?2h?h2a

点评：将折射率连续变化的介质分成许多个折射率不相同的层面（层面中折射率相同）是处理本题的关键。

10.如图33-102所示，在内半径为r、外半径为R，折射率为n1的玻璃管中充满了折射率为n2的发光液体，试问，从远处看，当管的厚度

rn1n2R消失时，r和R应满足什么条件？

分析：在物理学中存在大量的临界问题，以原理、定理或定律为依据，直接从临界状态和相应的临界量入手，求出所研究问题的特殊规律和特殊解；然后，以此对一般情况进行分析、讨论和推理，即采用从特

图33-102

殊到一般的推理方法称为临界法。

本题中，液体发出的光线经玻璃两次折射后射出。从远处看，只能接受平行光线。管的厚度消失，即经管边缘射向远方的光线与该处的管直径2R垂直。即光线从玻璃折向空气时，入射角为全反射临界角。

解：如图33-103所示，厚度消失时，切向光线MN与半径垂

?直，管内存在PM光线，PM入射角?C为全反射临界角，有

sin?C?1n1

MPn1n2R?CrN图33-103

PM光线是从液体P点发出，从液体射向玻璃时折射角为?。如图33-103所示，由正弦定理有

rR?????? ?Csin sinsin??RRsin?C?rn1r

所以有

管壁中是否存在PM光线呢？从P点由液体射向玻璃的入射光线的入射角最大为90?，相应折射角为?max。若n2?n1则

?ma x n2sin90??n1sinsin?max?n2n1

即

若n2?n1则 sin?max?1。

Rn2?sin??sin?nrn1，即n?nmax，即要求 121时， 存在PM光线的条件是

R?n2r。

RR?1?n1nrn?n1时，1 2，即 r。

点评：本题是以临界状态和相应的临界角为前提，作为分析、讨论的出发点，由于题目未说明n1和n2的大小，应分别就n1?n2和n1?n2两种情况进行讨论，从而确定r和R应满足的条件。

11. 空气中放一个半径为R、折射率为n的玻璃球，两支相距d<2R的平行

细光束相对球心对称地射到球上，两支光束与球心共面，如图33-124所示。

（1）为使两支光束在球内有实交点，d与n之间必须满足什么样的关系？

（2）为使两支光束对任何d<2R均在球外有实交点，n可取哪些值？

分析：由下面图33-125可看到，当折射角

???2时两支光束在球

d2 d2面上相交，这是两支光束是在球内，还是在球外有实交点的分界点，

因此要分别讨论当

???2与

???2时的情况。

图33

解：如图33-125所示，有

sin??1sin?n

sin??d/2R

（1）球内相交要求

???2，即

d2d2α sin??sin?2

R?α ?2与前两式联立，并利用

图33-125

sin??2sin?2cos?2

2cos?n2可得

?1?co?s1d2cos??2?4?2222R

?即得所求条件为

d2n?2?4?2R

（2）球外相交，要求

???2，即可得

d2n?2?4?2R

d22?2?4?2?2R因此0?d?2R，故

为保证前一不等式对任何d均成立，便要求n?2。 这便是n的取值范围。

12．如图41-84所示，半径为R的绝缘圆环由直径AB分成的两半部分各均匀带有正、负电荷。正负电荷的电量都是Q。

(1)试证明过直径AB的直线是一条电势为零的等势线。 (2)求带正电的半圆环所激发的电场在环心O点的电势。 解：只要证明过AB的直线上各点场强方向与AB垂直，则此直线就是等势线。如进一步证明到直径上某一点的电势为零，则此直线上各处电势均为零。

证法1：（1）在直径AB上任取一点C，在环上任取关于AB对称的两点a和b，设a、b为中点的微段圆弧所带电量为?q。由于C点到这两微段的距离相等，故两段在C点产生的场强的大小相等，方向如图（它们与AB直线的夹角相等）。所以，这两微段在C点产生的合场强必定与AB垂直。同理，环上其它关于AB对称的任意两段在C点产生的合场强也与AB垂直，故过AB直线上各点的场强处处与AB垂直。

利用这个方法，也可证明在AB连线延长线上任一点C的合场强也与AB连线的延长线垂直，故过直径AB的直线是一条等势线。

设将一点电荷从无穷远处沿AB所在直线移到A点。电荷的移动方向与电荷受的电场力垂直，故电场力对电荷不做功，则有：

aD?????A??OC???????Bb图41-84

W电?q(U??UA)?0

因为 U??0 q≠0

所以 UA?U??0 故此直线上各处电势均为零。

（2）以a点为中心的微段在圆心O处产生的电势为

Ui?k?qiR

半圆环上其它各微段在O点产生的电势都为该值。因电势是标量，故可直接累加，得圆心O处的电势为

U0??Ui?kKQ??qi?RR

证法2：（1）在环上任取的关于AB对称的两点a和b为中点的微段圆弧所带电量分别为??qi和??qi，a、b到C点的距离为r、a、b对C点的电势分别为

Uc??k?qi?qUc???kir r

由电势叠加原理，C点的电势。

Uci?Uc??Uc??0

同理可得在环上任意关于AB对称的两点对C点的电势均为零，可得整个圆环对C点电势为O。

利用上述方法可得在AB连线上任意一点电势为零。故可得AB是一条电势为零的等势线。

（2）同证法1。