分析与解答：（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：mg=G

????2解得地球质量为：M=??；

???? ??2（2）同步卫星绕地球做圆周运动的周期等于地球自转周期T，同步卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：??(??+??)2=??(??)2（??+??） 解得：??=√

3????2????2????24??2???；

变式3一颗人造卫星的质量为m，离地面的高度为h，卫星做匀速圆周运动，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g．求：

（1）卫星受到的向心力的大小表达式． （2）卫星的速率大小表达式．

分析与解答：（1）卫星绕地球做圆周运动靠万有引力提供向心力，根据万有引力定律得： F=(??+??)2 根据地球表面物体万有引力等于重力得：

??????2联立求解得：F=(??+??)2

??????=mg ??2??????（2）根据万有引力提供向心力，(

????联立求解得：v=√ ??+??2????????+??)2=

????2 ??+??（3）根据万有引力提供向心力，

????????2=

????2可得第一宇宙速度：????=√????

经典例题宇宙中二颗相距较近的天体称为双星，他们以中心连线上的某一点位圆心做匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力而吸引到一起，设二者之间的距离为L，质量分别为M1和M2。（万有引力常量为G）求

(1)它们的轨道半径之比r1 ：r2 (2)线速度之比v1 ：v2 (3)运行周期T。

分析与解答：（1）两天体做圆周运动靠相互间的万有引力提供向心力，角速度相等，结合牛顿第二定律求出半径的大小；（2）根据??=????求线速度之比；（3）结合万有引力提供向心力求出运动的周期．

（1）对??1有：??对??2有：????1??2??2??1??2??2=??1??1??2

=??2??2??2

解得：??1??1=??2??2 即

??1??2=

??2，又??1??1+??2=??

解得：??1=????2?? 1+??2??1??2（2）根据??=????，可得线速度之比为（3）根据????1??2??2??3=

??1??2=

??2 ??1=??1??1

4??2，又??1??2=

??2?? ??1+??2解得：??=2??√??(??1+??2)

变式1我们将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，且沿半径不同的同心轨道作匀速圆周运动，设双星间距为L，质量分别为M1、M2(万有引力常量为G)试计算：

(1)双星的轨道半径 (2)双星运动的周期。

分析与解答：设行星转动的角速度为ω，周期为T。 (1)如图，

对星球M1，由向心力公式可得： G

M1M2L

2=M1R1ω2

M1M2L2同理对星M2，有：G两式相除得：1=

R2R

=M2R2ω2

M2M1，(即轨道半径与质量成反比)

又因为L=R1+R2 所以得：R1=M

M21+M2L，R2=M

1M11+M2L

(2)有上式得到：ω=L√因为T=

2π

G(M1+M2)

L

，所以有：T=2πL√G(M

ω

L

1+M2)

变式2如图所示，两个星球A、B组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．已知A、B星球质量分别为mA、mB，万有引力常

量为G.求

??3(其中??2L为两星中心距离，T为两星的运动周期)

分析与解答：两个星球均做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有

??????????4??2=????2????

??2????????????4??2=????2????

??2??其中L＝rA+rB，

??3??(????+????)

联立解得??2=。 4??2变式3天文学中把两颗距离比较近，又与其它星体距离比较远的星体叫做双星，双星的间距是一定的.设双星的质量分别是??1、??2，星球球心间距为??.问：

(1)两星的轨道半径各多大？ (2)两星的速度各多大？

分析与解答：（1）由于双星做匀速圆周运动，且角速度相同， 对m1由：??对m2由：????1??2??2??1??2??2=??1??2??1 =??2??2??2

由两式得：??1=??2

21????又 ??1+??2=?? 解得：??1=????2??；??21+??2=????1?? 1+??2????2 ??2??1??（2）联立以上式子得：??=√解得：??1=??1??=√同理得??=√

????1 ??2??2????1??2??2????2??1??2=??2√??(??1+??2)

解得：??2=??2??=√

=??1√??(????1+??2)