移项得到

?20f(x)dx?220-------------5分 9于是f(x)=x?

四、解答题（本题7分） 计算

20x?2-------------6分 9xx(esiyn?mydx)?e(yc?omsdy,其)中L为顺时针方向的上半圆周? L(x?a)2?y2?a2(y≥0).

解：P(x,y)?exsiny?my,Q(x,y)?excosy?m,

?P?Q?excosy?m,?excosy-----2分 ?y?x如图所示：添加辅助线AO,利用格林公式， 原式=

?L?AO(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy??AO(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy

-----------------------------------------------------------4分

0?Q?P=???(?)d???0dx-------------------7分

2a?x?yD=?2----------------------------8分 md??0??ma??2D?

五、解答题（本题7分）

xn求幂级数?的收敛域及和函数.

n?1n?解：收敛半径为R?limann?1?lim?1 ----------------2分

n??an??nn?1易知x?1幂级数发散，x??1时幂级数收敛，

xn所以幂级数?的收敛域为[－1,1)-------------------------4分

n?1n?xn当x?[?1,1)时，设S(x)??两边对x求导得到：

nn?1?S?(x)??xn?1?1?x?x2???n?1?1---------------------6分 1?x对上式两边积分得到

??x0S?(x)dx??x01dx 1?xxn故有S(x)????ln(1?x),x?[?1,1)----------------------8分

n?1n

六、应用题（本题满分8分） 计算由曲面x2?y2?z与z?2?解：所围成立体的体积V=

x2?y2所围成立体的体积.

???dv，-----------------------------------2分

?曲面x2?y2?z与z?2?设x??cos?,y??sin? 则V=

x2?y2所围立体在xoy面的投影为D:x2?y2?1，---4分

??d??D2???2dz=?d???d??2dz-------------------------6分

002?12???=

5?--------------------8分. 6七、证明题（本题满分6分）

设函数f(x)在(??,??)内连续、可导，且F(x)??(x?2t)f(t)dt，证明：

0x（1）若f?(x)?0，则F(x)在(??,??)内单调增加.

（2） 若f(x)是偶函数，则F(x)也是偶函数；

证明：（1）F?(x)?(?(x?2t)f(t)dt)??0x?x0f(t)dt?xf(x)（不妨设x?0),

再次求导得到：F??(x)?f(x)?f(x)?xf?(x)=?xf?(x),--------------------------2分 若f?(x)?0，则F??(x)?0，F(x)在(??,??)内单调增加. ----- -------------3分

（2）又F(x)??(x?2t)f(t)dt,

0xF(?x)???x0(?x?2t)f(t)dt，---------------------------------------------4分

因为f(x)是偶函数，即f(?x)?f(x),令u??t得到:

F(?x)??(x?2u)f(u)du,即F(x)?F(?x)，所以F(x)也是偶函数.-------------------6分

0x