V??x2y ．．．．2分 问题转化为求函数V??x2y在条件x?y?p约束之下的极值 ．．．．3分

令 F??x2y??(x?y?p)，

?Fx?2?xy???0?2由?Fy??x???0， ．．．．．6分 ?x?y?p?解得x?2y，代入x?y?p得x?由于(2pp，y? ．．．．7分 332pp,)是唯一的驻点，由题意又知这种圆柱体的体积一定有最大值，所以当矩形的3321边长分别为p,p时，绕短边旋转所得的圆柱体的体积最大. ……8分

33

郑州轻工业学院

2013-2014学年第二学期 高等数学A 试卷A

试卷号：A201406（3）

一、单项选择题(每题3分，共15分)

d x221?tdt?（ B ）. 1.?0dx (A)1?x4 (B) 2x1?x4 (C) 2x1?x2 (D) 1?x2

2.二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数fx?(x0,y0)，fy?(x0,y0)存在,f(x,y)在

该点连续的（D）．

(A) 充分条件非必要条件 (B) 必要条件非充分条件

(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件

3. 设简单闭曲线L所围区域的面积为S，其中L的方向取正向，则S=（ D ）.

(A)

1111xdx?ydyydy?xdxydx?xdyxdy?ydx (B) (C) (D) 2?L2?L2?L2?L4. 设常数k?0，则级数

?(?1)nn?1?k?n（C ）. 2n (A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 敛散性与k的取值有关 5 .曲线y?e与该曲线过原点的切线和y轴所围成的图形的面积为（A）．.

xy(A)?(e?ex)dx (B) ?(lny?)dy (C)

00e

1xe?e1(e?ex)dx (D)

xy(lny?)dy ?0e1

二、填空题(每题3分，共15分) 1．lim(x,y)?(1,1)xy?11??．

2xy?1x2．设函数f(x,y)?yarctan(xy)?(1?y)e?sin(2y)，则fx(1,0)＝e．

223．设D是由x?y?1 所围的闭区域，f(x,y)连续，则

??[1?xf(xD2?y2)]dxdy??

2x4.微分方程微分方程y???4y??4y?0的通解为y?(C1?C2x)e.

5.由y?x2,x?1,y?1所围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为

4?． 5三、计算题 (每题6分，共42分)

y，求dz(1,0). xy?2?zyx解：；--------------------------------------2分 ???22y?xx?y1?()2x1?zxx--------------------------------------------4分 ??2y2x?y2?y1?()x1．z?arctan故dz(1,0)=

?z?zdx?dy?0dx?1dy?dy.---------------------------6分 ?x?y2．改变积分次序计算二重积分

?10dx?xxsinydy. y解：如图所示： 原式=?dy?20y1ysinydx-------------------2分 y1 y =?(siny?ysiny)dy---------- 4分

01=?cosy??ydcosy

0101o 1 x =cos1?sin1-------------------6分

3．解微分方程

dy1?．则 dxx?y解：设 u?x?y，则y?u?x，-------------- 2分

dydu??1于是 dxdx

代入原方程得

du1?u? ----------------------4分 dxu1?u)?x?c 分离变量得到u?ln(1?x?y)?C为方程的通解. ----------6分 即 y?ln(

4.利用高斯公式计算

??xdydz?ydzdx?xdxdy， 其中?为柱面x?2?y2?1及平面

z?0,z?3所围立体的整个边界曲面的外侧.

解：P(x,y,z)?x,Q(x,y,z)?y,R(x,y,z)?x，

则

?P?Q?R???1---------------------------2分 ?x?y?z?P?Q?R??dxdydz------------4分 ?x?y?z由高斯公式得到：原式=????

=???3dv=3???dv?9?-------------------6分

??n25．判定级数?n的敛散性.

n?13?un?1(n?1)211解：由比值审敛法得lim?lim.??1 2n??un??33nn故原级数收敛.--------------------- 6分

6．求旋转抛物面z?x?y?1在点（2,1,4）处的切平面与法线方程.

22解：旋转抛物面z?x2?y2?1在点（2,1,4）处的法向量为

n?(2x,2y,?1)?(4,2,?1)------------------------2分

故在点（2,1,4）处的切平面方程为4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0-----------4分 法线方程为：

x?2y?1z?4??----------------------6分 42?127．设f(x)=x?x解：两边积分得

?20f(x)dx?2, 求 f(x).

222000?20f(x)dx??x2dx??f(x)dx?xdx?4----------3分

28?2f(x)dx?4 =?03