y?1?2x?x?1y?1z?2???2．曲线? 152在点（1，－1，－２）处的切线方程为

z??x1?2?5?22?3．设D:1?x2?y2?3，则

??dxdy?D2?

4．若(xy2?ay)dx?(x2y?bx)dy是某个二元函数的全微分，则常数a、b满足 a=b ．

5、通解是y?ex(c1cos2x?c2sin2x)的微分方程是 y???2y??5y?0

三、解答题（每题6分，共30分）

1．求

?e1lnxdx．

e1e解：原式=xlnx??e1xdlnx …………3分

?e??1dx …………5分

1=1 …………6分

2．求幂级数?nxn?1?n?1的和函数．

解 收敛半径 R?lim

n??ann?lim?1 ……1分 an?1n??n?1又x??1时级数都发散，故该幂级数的收敛域为(?1,1)．……2分

?x?(?1,1)，设和函数为s(x)，即

则

s(x)??nxn?1?n?1??(xn)? ………４分

n?1?

?(?xn)?

n?1? ………5分

x1?()?? ，x?(?1,1) ………6分 21?x(1?x)

3．求

?20dx?ex2y2?y2dy．

解： 交换积分次序

原式??dy?e?ydx…………2分

002??ye?ydy …………4分

022?12?1???e?y??(1?e?4) …………6分 ?2?024．判断级数

2?(?1)nn?1n?k?nn2?(k?0)的敛散性.

?k?n解 因为?(?1)?2nn?1由p?级数

?k(?1)2??nn?1n?(?1)n?1n1 ， n?n?1???knk收敛，知级数绝对收敛； ………2分 (?1)?22nnn?1?1n1发散，知级数?(?1)条件收敛， ………4分

nnn?1由调和级数

?n?1所以

?(?1)nn?1?k?n收敛，且为条件收敛． ………6分 2n5．已知曲线L的方程为y?1?|x|(x?[?1,1])，起点(?1,0)，终点(1,0)，求曲线积分

2?Lxydx?xdy．

解：设L1为y?1?x(x?[?1,0])，L2为y?1?x(x?[0,1])，则L?L1?L2. ……1分 原式=?L1xydx?x02dy+?L2xydx?x2dy ……2分

1???1[x(1?x)?x2]dx??0[x(1?x)?x2]dx …… 4分

=0 …… 6分

四、解析题（每小题８分，本题满分１６分） 1．计算I?2(z???x)dydz?zdxdy，其中?是旋转抛物面z??12(x?y2)介于平面2z?0及z?2之间的部分的下侧．

解：依题P?z?x,Q?0,R??z ……1分

2设?1是平面z?2取上侧，?和?1所围区域为?，由高斯公式得 …… 2分

2(z???x)dydz?zdxdy????(????1?P?Q?R??)dv????0dv?0 …… 4分 ?x?y?z??1所以

22(z?x)dydz?zdxdy??(z?????x)dydz?zdxdy ……6分 ??x2?y2?4??2dxdy?8?. …… 8分

2．设函数?(x)连续，且满足

?(x)?x??t?(t)dt?x??(t)dt，求?(x)．

00xx解 方程两边关于自变量x求导两次，得 ?'(x)?1?所以有

?x0．．．．．2分 ?(t)dt， ?''(x)???(x)， ．

??''(x)??(x)?0 ?． ．．．．．．4分

?(0)?0,?'(0)?1?齐次方程的特征方程为

r?1?0，特征根为 r1?i,r2??i， ．．．．．．5分

齐次通解为 ??C1cosx?C2sinx ．．．．．．6分 代入初始条件，得 C1?0,C2?1． ．．．．．．7分 所以得 ?(x)?sinx． ．．．．．．8分

2五、证明题（本题满分8分） 设z?xy?xF(u),而u?y,F(u)为可导函数，证明：xx?z?z?y?z?xy.． ?x?y?z?uy?y?F(u)?xF?(u)??y?F(u)?F?(u)， ………3分 ?x?xx证明

?z?u?x?xF?(u)??x?F?(u) ………6分 ?y?y则 x?z?z?y?2xy?xF(u)?z?xy. ?x?y故等式成立． ………8分

六、应用题（每小题8分，共16分）

1x2y2１．求平面z?c(c?0)与椭圆抛物面z?(2?2)所围立体的体积.

2ab解法一 过点(0,0,z) (0?z?c)，作垂直于z轴的平面，得到水平截线的方程为

x2y2??1， ． ．．．．２分 2a2z2b2z这是一个椭圆，其面积A(z)??2a2z?2b2z?2?abz， ．．．．．5分 于是所求体积为V??c0．．．．8分 2?abzdz??abc2． ．

解法二 利用三重积分，设所围立体为?，其体积为V，则

V?c0．．．３分 ???dv ．

???dzcx2．．．５分 ??dxdy ．

?y2?12a2z2b2z．．．8分 ??2?abzdz??abc2． ．

0２．将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大?

解法一 设矩形的一边为x，则另一边为p?x，假设矩形绕p?x旋转，则旋转所成的圆柱体的体积为

V??x2(p?x),(0?x?p) ……3分

由

dV2??x(2p?3x)?0，求得驻点为x?p. ……6分 dx3由于驻点唯一，由题意又知这种圆柱体的体积一定有最大值，所以当矩形的边长分别为

21p,p时，绕短边旋转所得的圆柱体的体积最大. ……8分 33解法二设矩形的边长分别为x,y，则x?y?p,矩形绕长为y的边旋转，则旋转所成的

圆柱体的体积为