解法二 柱面坐标，如图
I???dxdy?2Dxy1x?y2(x2?y2)dz ………3分
11x?rcos?,y?rsin???2?0d??rdr?2r2dz ………6分
0r?2??r3(1?r2)dr?01?6 ………8分
五、（本题满分10分）
已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2?y2?2x到点(2,0)，再沿圆周x2?y2?4到点（利用格林公式计算） (0,2)的曲线段，计算曲线积分I??3x2ydx?(x3?x?2y)dy．
L解 如图，
P?3x2y,Q?x3?x?2y，且
?P?Q?3x2,?3x2?1．则 ?y?x I??LPdx?Qdy???(D?Q?P?)dxdy ?x?y ?11?22 1dxdy???2???1???422D六、（本题满分8分）
设f(u,v)具有连续的偏导数, w?f(xy,yz)，证明： x?w?w?w?z?y． ?x?z?y证明
?w?w?w?yf1',?xf1'?zf2',?yf2'， ………6分 ?x?y?z所以 等式左边 ?x?w?w?w?z?xyf1'?yzfz'，等式右边y?xyf1'?yzfz'． ?x?z?y故等式成立． ………8分
七、（本题满分14分）
（1）已知三个正数之和为a，试问这三个正数分别为何值时，它们的倒数之积最小．
解 （1）设三个正数分别为x,y,z，则目标函数 f(x,y,z)? 方法一 化为无条件极值
1，约束条件x?y?z?a． xyzg(x,y)?11，x?0,y?0,x?y?a ?xy(a?x?y)axy?x2y?xy2ay?2xy?y2ax?2xy?x2则 gx??，gy??， ………4分
[xy(a?x?y)]2[xy(a?x?y)]2aa,y?． ………6分 33aaa由实际问题的意义知，x?,y?时，g(x,y)取最小值，此时z?．
333a即三个正数分别为x?y?z?时，它们的倒数之积最小． ………7分
3方法二 问题等价于求目标函数w?xyz在约束条件x?y?z?a下的最大值
令gx?0,gy?0得驻点x?化为无条件极值
g(x,y)?xy(a?x?y)?axy?x2y?xy2，x?0,y?0,x?y?a
则 gx?ay?2xy?y2，gy?ax?2xy?x， ………4分
2aa,y?． ………6分 33aaa由实际问题的意义知，x?,y?时，g(x,y)取最小值，此时z?．
333a即三个正数分别为x?y?z?时，它们的倒数之积最小． ………7分
3令gx?0,gy?0得驻点x?方法三 条件极值，拉格朗日函数
L(x,y,z)?1??(x?y?z?a)，x?0,y?0,z?0， 则 xyz1?L?????0,(1)?xx2yz?1?L?????0,(2)?yxy2z ? ………4分
?1?Lz?????0,(3)2xyz??x?y?z?a,(4)?由(1) , (2), (3) 联立可得 x?y?z
a代入（4）得驻点x?y?z?． ………6分
3由实际问题的意义知，x?aaa,y?时，g(x,y)取最小值，此时z?． 333a即三个正数分别为x?y?z?时，它们的倒数之积最小． ………7分
3（2）判断级数
n的敛散性，若收敛，求级数的和． ?n3n?1?解 利用比值判别法
?3n?1?nn
nun?1n?131 lim ………4分 ?lim???，所以级数收敛．1n??un??3n?1n3nan?1nn?1n?13n1构造幂级数?nx，先求幂级数的收敛半径 ??lim||?limn?1??，
n??n??3ann3n?13?所以收敛半径为R?3，故在(?3,3)内幂级数绝对收敛．
?nnn?1令其和函数S(x)??nx（|x|?3），故 S(1)??n．
n?13n?13?x??nxn?11x3， S(x)?[?n?xdx]'?[?nxn]'?[3]'?[]'?20x3?x(3?x)n?13n?131?3故 S(1)?
n3?． ………7分 ?n34n?1?郑州轻工业学院
2012-2013学年第二学期期末考试 高等数学IB 试卷A
试卷号：A20130621
本题得分
一、单项选择题(每题3分，共15分)
1．函数y?3e2x是方程y???4y?0的 （ B ）
（A）通解；（B）特解；（C）解，但既非通解也非特解；（D）以上都不对．
d12lntdt=（ D ） 2．
dx?x（A）2lnx； （B）lnt； （C） lnx； （D）?lnx． 3．已知
222?f>0，则（ A ） ?x（A）f(x,y)关于x为单调递增； （B）f(x,y)?0；
?2f（C）2>0；
?x （D）f(x,y)?x(y2?1)．
４．设f(x,y)是连续函数，则（Ａ）
?40dx?2x0f(x,y)dy?（ B ）
44y2??40dy?1f(x,y)dx ； （Ｂ）?dy?1401f(x,y)dx；
4（Ｃ）
40dy?12y4?yf(x,y)dx ； （Ｄ）?dy?140yy2f(x,y)dx．
45．下列级数中发散的是（ C ）
?1n1（Ａ）?(?1) ； （Ｂ）?(?1)； 2n(n?1)nn?1n?1n?nn?11 (Ｃ）?(?1)； （Ｄ）?(?1)． n?1nn?1n?1n??二、填空题(每题3分，共15分) 1．幂级数
?axnn?0?n在x??3时条件收敛，则
?axnn?0?n的收敛半径R? __3____ ．