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高等数学(上)期末复习指导 09年12月

目 录

第一部分 常考题型与相关知识提要 1 第二部分 理工大学01—08级高等数学(上)期末试题集(8套题) 18 01—08级高等数学(上)期末试题试题参考解答 26

第三部分 高等数学(上)期末模拟练习题(5套题) 39

模拟试题参考解答 46

第四部分 09级高等数学(上)考前最后冲刺题(1套题) 57

第一部分 常考题型与相关知识提要

题型一 求极限的题型 相关知识点提要 须熟记下列极限: (1)基本的极限:

?0, q?1? 1)limqn??, 2)limna?1,(a?0),limnn?1 1, q?1n??n??n???发散, q?1,q??1??0,n?m?anxn??a0?an 3) lim??,n?m.

x??bxm??bm0?bm???,n?m.(2) 重要极限

sin?(x)?1 2)lim[1??(x)]?(x)?e 1)lim?(x)?0?(x)?(x)?0(3) 常见的等价无穷小

?(x)sin?(x)tg?(x) e?(x)1arcsin?(x)arctg?(x).

1??(x),ln(1??(x))?(x),1?cos?(x)n?(x)22,

a?(x)?1?(x)lna, n1??(x)?1?(x)

其中(?(x)?0指对于任何极限过程)

(4)x???时,无穷大量logax(a?1),x(??0),a(a?1)的级别依次从小到大排列.

求极限的方法:

方法1、运用四则运算法则

运用四则运算法则求极限时要注意运算条件:

1)所有极限存在.2)分母极限不为0;3)有限成立.

?x注:01、一(1)、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题,分值为3分,以后类同.

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im(f)x(f)x0,方法2、运用连续函数性质:如l则limf[g(x)]?f[limg(x)].

x?x0x?x0x?x0方法3、运用定理:有界量乘无穷小量仍是无穷小量

方法4、运用两边夹法则

g(x)?f(x)?h(x),且limg(x)?limh(x)?A,则limf(x)?A 方法5 利用左右极限

方法6、利用通分、约分、有理化、同除等初等方法消去未定型因素 方法7、利用重要极限

方法8、用等价无穷小替换

要注意使用条件:只能代换极限式的分子或分母中的因子,而不能代换“项”. 方法9、用罗比塔法则 要注意条件:(1)、必须是标准型未定式 (2)、必须极限存在 技巧:使用前先用下列方法化简

(1)、使用变量代换(2)、使用无穷小代换 (3)、先将能定形的极限算出

01-08年相关考题

较基本的极限: 1.limxsinx?01? (01、一(1)、3) x2x3?12.lim3= . (05、一(1)、3)

x??x?x?1sinax23.若lim、3) ?,则a= . (02、一(1)

x?02x3sinax34.lim、3) ?,则a? . (04、一(2)

x?0sin5x4?165.数列x??n,?????????????n??10??,则limxn?______(03、一(1)、3)

?n??n?106,???????????n??106?????????????6、在x0的某去心邻域内无界是limf(x)??的_______条件. (03、一(2)、3)

x?x0137.计算lim(?).(07.二.1.6

x?11?x1?x3n?3)8.lim(kn?1)(2?6.则k? .(08一 、1、3) 2n??n可用罗比塔法则或等价无穷小替换法计算的极限:

2ln(1?3x)(01、二(2)、5) 9求limx?0ln(3?x4)10求 limarctanx(03、二(1)、5)

x??1x2ln(1?)xex?e?x?211lim(03、二(2)、5) x?01?cosx1?型的极限 1?x2x12.lim(、3) )= (05、一(2)

x??x2

注:01、一(1)、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题,分值为3分,以后类同.

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x?3?13.极限lim?、3) __(06、一(2)???__________x??x??14.函数f(x)=lim(15.lim(x??x3n?xn、3) )? (04、一(3)

n??n?2x?2kx)?e2,则 k? x116. lim(1-sin2x)x? . (08一 、2、3)

x?0含有积分号的极限: 17.lim?x?0x0sintdtx20x???.(02、二(1)、5)

x18.求极限lim?tarctantdtx2x0.(06、二(1)、6)

219.计算极限:lim?(arctant)x+12x??x2、6) dt(04、二(1)

20计算极限limx?0???00etdt2x?.(05、二(1)

、6)

2te2tdt21.已知f(x)连续,求limxxf(t)dt.(08二、2 、7)

x?ax?a?a题型二 求导数的题型

相关知识点提要

求导数方法: 1)用定义

2)用四则运算法则求导法则、反函数与复合函数求导法则、隐函数与参数方程求导法则、对数求导法则、幂指函数求导法则及积分上限求导法则.

求导时要注意下列事项:

(1)当未知函数可导或分段函数的分界点当用定义求;

(2)f?[g(x)]表示f?(t)t?g(x); (3) 幂指函数f(x)g(x)要取对数才能求导;

2(4)参数方程求二阶导数时要分清求导对象:dy?dx2d(dy)dx?dxd(dy)dxdxdt

dt(5)给定点导数应先求导再代值.

(6)对积分上限的求导公式中,被积函数中不得含有求导对象,否则要作代换使被积函数中不得含有求导对象后再用求导公式. 01-08年相关考题

求显函数的导数:

1y?xarcsin(lnx),求y?.(01、二(2)、5)

注:01、一(1)、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题,分值为3分,以后类同.

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2.y?e?sin21x,求y?.(05、二(2)、6)

3.y?f(ex)ef(x),其中f(x)可导,求

dy.(02、二(2)、5 dx4.arctanx?arccotx? . (08一 、4、3) 求隐函数的导数:

5.求由方程ysinx?xcos(x?y)?0所确定的隐函数y?y(x)的导数y?. (01、二(3)、5)

6.设函数y?f(x)由方程xy?ex?y确定,求dy.(05、二(3)、6)

dx7.函数y?y(x)由方程x3?y3?3axy?0确定,求dy.(06、二(3)、6) 8设函数y?f(x)由方程xy?ex?ey?0确定,求dy.(07.二.3.6)

求参数方程的导数

?x?ln(1?t2dyd2y9?,求和2(04、二(3)、6)

dxdx?y?arctant?x?arctantdyd2y(06、二、2) y?y(x)10求由参数方程?确定的函数的导数,22dxdxy?ln(1?t)??t2x?11. 设?2求??y?1?t?dyd2y,.(08二、1 、7) dxdx2积分上限求导 12.设?(x)??bxtsint2dt,则

x 2213.设F(x)??0tf(x-t)dt,求F??(x)(04、二(8)、6)

d?

? (02、一(3)、3) dx

14.设f(x)可导,f(0)?0,F(x)??x0tn?1f(xn?tn)dt,n为正整数,证明:

F(x)1?f?(0)(07.五4)

x?0x2n2n3xdy15设y??etdt,求.(07.二2,6)

lnxdxlim16.设y(x)由方程

求微分

17.y?lnf(x),f??(x)存在, 求

xy ?yt2edt?x2y?1所确定,则0y'? . (08一 、7、3)

y??(03、二(3)、5)

18.dx2? dx(01、一(2)、3) 19.设xy?e?e=0,求dy (04、二(2)、6) 20.设y?xcosx,(x?0),求dy.(02、二(3)、5)

21设y?f(sinx),f可导,则dy? (07、一3.3)

题型三 关于连续与可导概念的题型

相关知识点提要

注:01、一(1)、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题,分值为3分,以后类同.

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