K?KTc?1?100?????4?3?1?

???4?4?1??010????0?11??加入反馈阵K后，系统的结构图如图8-11所示

图8-11 例8-11 闭环系统结构图

由于该系统阶次较低，故可以直接计算K阵。

加入反馈阵K??k0k1k2?后，闭环系统的系数矩阵为

0??0??01???0??kA?bK??0?11????0??00?2????1??闭环系统的特征多项式为

f(?)?k1?0k2????0??k0??11?? k1?2?k2??10?I?(A?bK)??3?(3?k2)?2?(2?k1?k2)??(?k0)

与f?(?)对应相系数进行比较，可解得

K???4?3?1?

显见，结果与前面计算的相同。 二、 输出反馈与极点配置 输出反馈有两种形式：一为将输出量反馈至状态微分处；一为将输出量反馈至参考输入。下面均以单输入—单输出受控对象为例来讨论。

1．输出量反馈至状态微分处的系统结构图如图8-12所示

图8-12 输出量反馈至状态微分

设受控对象动态方程为 输出反馈系统动态方程为

??Ax?Buxy?Cx （8-106）

??(A?GC)x?Bux （8-107）

y?Cx式中G为n?1输出反馈阵。

可以证明，用输出至状态微分的反馈任意配置闭环极点的充要条件是：受控系统能控。

322

为了根据期望闭环极点位置来设计输出反馈矩阵G的参数，只需将期望的系统特征多项式与该输出反馈系统特征多项式?I?(A?GC)相比较即可。需要指出的是，当系统阶次较低（n?3）时，检验其能观性后，根据f?(?)=f(?)?化成能观标准型?o?(A,b,c)，其中

?I?(A?GC)可直接计算

反馈增益阵G。但随着系统阶次的增高，直接计算G的方程将愈加复杂。此时不如先将其

?0?1??1 A?ToATo??0?????000?00?10????00??a0??a1???a2?

????an?1???b0??b??1??1 b?Tob??b2?

???????bn?1?? C?CTo??000?1?

此时加入反馈增益阵G??g0Tg1?gn?1?得闭环系统矩阵

?000?100? A?GC??010???????000则 f(?)??I?(A?GC)与f(?)比较后可得

gi?ai?ai??即 G?a0?a0???????n?(a0?g0)??(a1?g1)???(a2?g2)?

????(an?1?gn?1)???(an?1?gn?1)?n?1???(a1?g1)??(a0?g0)

?(i?0,1,?,n?1)

??a1?a1?an?1?an ?1??T再由G?ToG把G变换为原状态x下的G。

2．输出量反馈至参考输入的系统的结构图如图8-13所示

图8-13 输出量反馈至参考输入

其中 u?v?GC （8-108）

该输出反馈系统动态方程为

??(A?BhC)x?Bvx （8-109）

y?Cx 323

式中输出反馈阵h为r?1维。若令hC?K，该输出反馈便等价为状态反馈。适当选择h，可使特征值任意配置。由结构图变换原理可知，比例的状态反馈变换为输出反馈时，输出反馈中必含有输入量的各阶导数，于是h阵不是常数矩阵，这会给物理实现带来困难，因而其应用受到限制。可推论，当h是常数矩阵时，便不能任意配置极点。输出至参考输入的反馈不会改变受控系统的能控性和能观性。

第六节 状态观测器

当受控对象能控，利用状态反馈进行极点配置时，需用传感器来测量状态变量以便形成反馈。但传感器通常用来测量输出，许多中间状态变量不易测得或不可测得，于是提出状态重构问题。具体地说，状态重构问题的实质，就是重新构造一个系统，利用原系统中可直接

?(t)在一定的提法下等测量的变量如输入量和输出量作为它的输入信号，并使其输出信号x?(t)为x(t)的重构状态或估计状态，而称这个用以实现价于原系统的状态x(t)。通常，称x?(t)和x(t)间的等价性常采用渐近等价提法，即使状态重构的系统为状态观测器。一般，x得两者仅成立

?(t)?limx(t) limxt??t??表明状态重构问题含义的直观说明如图8-14所示。观测器也是一个线性定常系统。

图 8-14 状态重构问题的直观说明

当重构状态向量的维数等控系于受统状态向量的维数时，称为全维状态观测器，小于状态向量的维数时，称为降维状态观测器。显然，降维状态观测器在结构上要较全维状态观测器为简单。

1．全维状态观测器 考虑n阶线性定常系统

??Ax?Buxy?Cxx(0)?x0,t?0 （8-110）

其中，A,B,C分别为n?n,n?r,m?n维常数矩阵，状态x不能直接加以量测，输出y和

?(t)满足如输入u是可以利用的。所谓全维状态观测器，就是以y和u为输入，且其输出x下关系式

?(t)?limx(t) （8-111） limxt??t??的一个n维线性定常系统。全维状态观测器可按不同方法进行设计，下面介绍其中常用的一

种方法。

首先，根据已知的系数矩阵A,B,C，按和原系统相同的结构形式，复制出一个基本系

?之差值信号作为修正变量，并将其经增益矩统。然后，取原系统输出y和复制系统输出y阵G馈送到复制系统中积分器的输入端，而构成一个闭环系统，如图8-15（a）所示。

324

图8-15 全维状态观测器 显然，这个重构系统是以原系统的可量测变量u和y为输入的一个n维线性定常系统，其中有待确定的系数矩阵只有G。下面就要来论证，被估计系统?0?(A,b,c)在满足一定的条件下，通过适当的选取增益矩阵G，可使这个重构系统成为给定系统的一个全维状态观测器。

从图8-15（a）可以导出，按上述方式所构成的全维状态观测器的动态方程为

???Ax??Bu?G(y?Cx?), x?(0)?x?0 （8-112） x?)起到了反馈作用。而且，由比较式（8-112）和式（8-110）还可看出，其中修正项G(y?Cx此状态观测器在维数上显然等同于被估计系统，两者唯一的差别仅在于式（8-112）中引入

?)。为了说明引入此修正项的作用，不妨来讨论当式（8-112）中去掉此了修正项G(y?Cx修正项后可能产生的问题。可以看出，如此得到的观测器就是对被估计系统的直接复制，即为

???Ax??Bu, x?(0)?x?0 （8-113） x?0?x0，因此，一般地说同样可以达到重构状态的目的。并且，如果进而能做到使初始状态x?(t)?x(t)，即实现完全的状态重构。但是，这种开环则理论上可实现对所有t?0均成立x型的观测器实际上是难以应用的，它的两个主要的缺点是：第一，每次用这种观测器前都必

?0使之等同于x0，这显然是不方便的；第二，更为严重的是，如果系数矩须设置初始状态x?0和x0间的很小偏差，也会导致随着t的增加而使阵A包含不稳定的特征值，那么即使x?)就是为了克服这些问题而引入的。 ?(t)和x(t)偏差愈来愈大。修正项G(y?Cxx进一步考虑到y?Cx，并将其代入式（8-112），则此种全维状态观测器的动态方程可

表为

???(A?GC)x??Bu?Gy, x?(0)?x?0 （8-114） x相应的观测器的结构图如图8-15（b）所示。

?为实际状态和估计状态间的状态误差矢量，那么利用式（8-110）和式x?x?x 定义~x所应满足的动态方程为 （8-114）就可导出状态误差矢量~~?0 （8-115） x(0)?~x0?x0?x这表明，不管初始误差~x0为多大，只要使矩阵(A?GC)特征值均具有负实部，那么一定

可作到使成立

?(t)?limx(t) limxt??t????(A?GC)~ ~xx,即实现状态的渐近重构。进而，如果可通过选择增益阵G而使(A?GC)特征值任意配置，

x(t)的衰减快慢是可以被控制的。显然，若(A?GC)特征值均远离虚轴，则可使重构状则~?(t)很快地趋于实际状态x(t)。 态x 325