图8-9 对偶系统的模拟结构图 对于系统?1，其传递函数矩阵W1(s)为m?r矩阵 W1(s)?C1(sI?A1)?1B1 而系统?2，其传递函数矩阵W2(s)为r?m矩阵
TT?1T W2(s)?C2(sI?A2)?1B2?B1(sI?A1)C1
TT ?B1 [(sI?A1)?1]TC1?[C1(sI?A1)?1B1]T?W1(s) （8-91）
由此可知，对偶系统的传递函数矩阵是互为转置的。
此外，还应指出，互为对偶的系统，其特征方程式是相同的，即
T sI?A2?sI?A1T?sI?A1
2．对偶原理
系统?1?(A1,B1,C1)与?2?(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统，则?1的能控性等价于?2的能观性, ?1的能观性等价于?2的能观性。或者说，若?1是状态完全能控的（完全能观的），则?2是状态完全能观的（完全能控的）。
证明 对?2而言，能控性判别矩阵(n?nm) M2?B2?A2B2?A2n?1B2
?的秩为n，则系统?2状态是完全能控的。
将式（8-84）的关系代入上式，有
M2?C1TTTn?1TT A1C1?(A1)C1?N1说明?1的能观性判别矩阵N1的秩也为n，从而说明?1为状态完全能观的。
TTTTTn?1T同理有 N2?C2A2C2?(A2)C2
?T??A1B1?A1B1?M1
即若系统?2的能观性判别矩阵N2(nm?n)满秩，为状态完全能观时，则系统?1的能控性判别矩阵M1亦满秩而为状态完全能控的。
第五节 线性定常系统的极点配置
在现代控制理论中，控制系统的基本结构仍然是由受控对象和反馈控制器两部分构成的闭环系统。除了采用输出反馈，更多地采用状态反馈，由于状态反馈能提供更丰富的状态信息和可供选择的自由度，因而使系统容易获得更为优异的性能。它在形成最优控制规律，抑制或消除扰动影响，实现系统解耦控制诸方面获得了广泛的应用。
一、状态反馈与极点配置 1．状态反馈
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。图8-10是一个多输入-多输出系统状态反馈的基本结构。
?B1?n?1?? 318
图8-10 状态反馈系统的结构图
图中受控系统的状态空间表达式为
??Ax?Buxy?Cx其中x为n维状态矢量，u为r控制矢量。A,B,C分别为n?n,n?r,m?n维矩阵。
状态线性反馈控制律u为 u?Kx?v （8-93） 其中v──r?1维参考输入；
K──r?n维状态反馈增益阵。对单输入系统，K为1?n维行矢量。
将式(8-93)代入式(8-92 )整理可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式
（8-92）
??(A?BK)x?Bvx
y?Cx (8-94)
比较式(8-94)和式(8-92)可知，状态反馈增益阵K的引入，并不增加系统的维数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
2．极点配置问题
控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。因此作为综合系统性能指标的一种形式，往往是给出一组期望极点，或者根据时域指标转换成一组等价的期望极点。极点配置问题，就是通过选择线性反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所期望的动态性能。
可以证明状态反馈不改变系统能控性，因此可以利用状态反馈，很好地解决极点配置问题。对于单输入──单输出系统，采用状态反馈对受控系统任意配置极点的充要条件是受控系统状态完全能控。
若?0?(A,b,c)完全能控，通过状态反馈必成立
det[?I?(A?bK)]?f?(?) （8-95） 式中f?(?)——期望特征多项式。 f(?)?式中??,i(i?1?n?(???)???ii?1n?n?1?? （8-96） ?an???a1??a0?1?。 2,?,n)——期望的闭环极点（实数极点或共轭复数极点）
（1） 若?0完全能控，必存在非奇异变换 x?Tcx 式中Tc——能控标准型变换矩阵。
能将?0化成能控标准型
??Ax?bux
y?Cx （8-97）
其中
319
1?00??0?0?0?00???1? ? A?TcATc????00?01?????a0?a1??an?2?an?1???0??0????1 b?Tcb????
??0????1?? C?CTc??b0b1b2?bn?1? 受控系统的传递函数为
W0(s)?C(sI?A)?1b?C(sI?A)?1b
bn?1 ?n?1s?bn?2sn?2?????b1s?b0sn?an?1?a n?1s?????a1s0（2） 加入状态反馈增益阵 K??k0k1?kn?1? 可求得对x的闭环状态空间表达式 x?
?(A?bK)x?bvy?Cx ??010?0??001?0??式中 A?bK?????? ?000?1?????(a0?k0)?(a1?k1)???(an?1?kn?1)??闭环特征多项式为
f(?)??I?(A?bK)
??n?(a?1n?1?kn?1)?n???(a1?k1)??(a0?k0) 闭环传递函数为
Wk(s)?C[sI?(A?bK)]?1b
?bn?1n?1s?b?2n?2sn?????b1s?b0sn?(a?kn?1 n?1n?1)s?????(a1?k1)s?(a0?k0) 3） 使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足 f(?)?f?(?)
由等式两边同次幂系数对应相等，可解出反馈阵各系数 k?i?ai?ai(i?0,1,?,n?1) 于是得 K??a?0?a0a?a?1?a1?an?1?n?1? 4） 最后，把对应于x的K，通过如下变换，得到对应于状态x的K。 K?KT?1c
（8-98） 8-99）
8-100）
8-101） 8-102） （8-103）
（8-104）
（8-105） 320
（ （ （ （
这是由于u?v?Kx?v?KTc?1x的缘故
应当指出，当系统阶次较低（n?3）时，检验其能控性后，根据原系统的状态方程直接计算反馈增益阵K的代数方程还是比较简单的，无须将它化为能控标准型。但随着系统阶次的增高，直接计算K的方程将愈加复杂。此时不如先将其化成能控标准型
?c?(A,b,c)用式（8-103）直接求出在x下的K，然后再按式（8-105）把K变换为原状态x下的K。
[例8-11] 已知系统状态方程为
?010??0? x????0?11???x???0??u ?00?2????1??试设计状态反馈控制器，使闭环极点为?2,?1?j1。
解 （1）判别系统能控性 ???001? M??bAbA2b??01?3?
???1?24??显然，rankM?n，系统能控，可以采用状态反馈进行极点的任意配置。
（2）系统的特征多项式为
???10?det(?I?A)?det??0??1?1???3?3?2?2?
??00??2???即 a0?0,a1?2,a2?3
（3）根据给定的极点值，得期望特征多项式
f?(?)?(??2)(??1?j)(??1?j)??3?4?2?6??4
即 a?0?4,a?6,a?1?2?4 （4）根据式（5-12）可求得 k0??4,k1??4,k2??1
即 K???4?4?1?
（5）再来计算变换矩阵
?10000??100? T2?????1???c??AbAbb??a210??310?????310?
?a1a21????4?21????231???10 ??0??010??1? ?01???100并求出其逆 T?1???c??010
??11??0??从而，所要确定的反馈增益阵K为
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