第八章控制系统的状态空间分析与综合 下载本文

?C??CA?? (8-72) N??????n?1??CA?满秩,即rankN?n。否则当rankN?n时,系统为不能观的。

证明 由式(8-71)可以求得 y(t)?CeAtx(0) 由于 e我们可得

y(t)?Atn?1???k(t)Ak

k?0??k?0n?1k(t)CAkx(0)

?C??CA?? (8-73) ???0(t)I?1(t)I??n?1(t)I??????n?1??CA?因此,根据在时间区间t0?t?tf测量到的y(t),要能从式(8-73)唯一地确定x(t0),即

完全能观的充要条件是矩阵

?C??CA?? N??????n?1??CA?满秩。

同样,对于单输出系统,N阵为n?n的方阵,rankN?n与N的行列式的值不为零是等价的,故可以通过计算N的行列式的值是否为零来判断N是否满秩。而对于多输出系统,此时N为nm?n的矩阵,由于矩阵N和N积NN是n?n方阵,而它的秩等价于

TTN的秩,因此可以通过计算方阵NTN的秩来确定N的秩。

三、能控标准型和能观标准型

由于状态变量选择的非唯一性,系统的状态空间表达也不是唯一的。在实际应用中,常常根据所研究问题的需要,将状态空间表达式化成相应的几种标准形式:如约旦标准型,对于状态转移矩阵的计算,能控性和能观性分析是十分方便的。能控标准型对于状态反馈来说比较方便,而能观标准型则对于状态观测器的设计及系统辩识比较方便。无论选用哪种标准形,其实质都是对系统状态空间表达式进行非奇异线性变换,而且关键在于寻找相应的变换矩阵T。这样做的理论依据是非奇异变换不改变系统的自然模态及能控性,能观性,而且只有系统完全能控(能观)才能化成能控(能观)标准型,对于一个传递函数为

bn?1sn?1?bn?2sn?2????b1s?b0 W(s)? (8-74) nn?1s?an?1s?????a1s?a0的系统,可以证明,当其无相消的零极点时,系统一定能控能观,则可直接由传递函数写出其能控、能观标准型。

1.能控标准型

当系统的传递函数如式(8-74),则可直接写出其能控标准型:

314

?1??010?0??x1??0??x?x??x??0??2??001?0?????2?????????????0?u (8-75) ??????

?????????x000?1x?n?1????n?1??????n??1???x????a0?a1?a2??an?1????xn??? y??b0b1b2?bn?1?x

如果给定的能控系统是用状态空间表达式描述的,且并不具有能控标准型的形式,则可用下面的方法将其化为能控标准型。

设系统的状态空间表达式为

x??Ax?buy?cx 若系统是完全能控的,则存在线性非奇异变换

x?Tcx ??10 Tn?1c??Ab??an?11An?2b?b?????a2a3???a1a2?an?1其中ai为系统特征多项式中对应项系数。 使其状态空间表达式(8-76)化为

x??Ax?buy?cx ??010?0??001?0?其中 A?T?1?cATc????????? ?000?1?????a0?a1?a2??an?1????0??0??? b?T?1cb??0? ??????1?? C?CTc??b0b1b2?bn?1?

[例8-10] 试将下列系统变换为能控标准型

??120??2?

x???3?11???x???1??u?020????1?? y??001?x解 (1)先判别系统的能控性

(8-76)

(8-77)

????? (8-78) ??? (8-79)

(8-80) (8-81)

(8-82)

315

1 M?b?Ab?2416??

A2b??168????1212???rankM?3,所以系统是能控的。

(2)计算系统的特征多项式 即a2?0,?I?A??3?9??2

a1??9,a0?2

则由式(8-78)可得 Tc?Ab?2?1Abb??a2??a1?01a20??1642??100???242??861??010????161? 0?????????1????1221?????901????321??根据式(8-80)、(8-81)及(8-82)可求得该系统的能控标准型为

?0???0x?

???2y??3210??0??0?u01?x???? ?90???1??1?x采用式(8-79)很容易写出系统的传递函数

b2s2?b1s?b0s2?2s?3 W(s)?3 ?32s?a2s?a1s?a0s?9s?22.能观标准型

当系统的传递函数如式(8-74),则可直接写出其能观标准型:

?1??0?x?x?2??1??? ?????0????x?n?1?????n??x???0 y??000?00?10????00?00??a0??x1??b0??x??b??a1???2??1??a2??????b2?u (8-83)

????????xn?1?????an?1????xn????bn?1??1?x

当给定的能观系统是用状态空间表达式描述的,且并不是能观标准型,同样可用下面的方法将其变换为能观标准型。

设系统的状态空间表达式为

??Ax?buxy?cx (8-84)

若系统是完全能观的,则存在线性非奇异变换

x?To~x (8-85)

To?1?1an?1?a2a1??CAn?1????n?2?1aa32???CA????????? (8-86)

?????aCAn?1??????01?????C?其中ai为系统特征多项式中对应项系数。

316

使其状态空间表达式(8-84)化为

~~~~??Axx?bu ~~y?cx?0?1?~?1其中 A?ToATo??0?????000?00?10????00??a0??a1???a2? (8-87)

????an?1???b0??b??1?~?1 b?Tob??b2? (8-88)

???????bn?1??~ C?CTo??000?1? (8-89)

第四节 对偶性原理

从前面的介绍中可以看出,能控性和能观性,无论在概念上还是在判据的形式上都存在着内在关系。这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确定的。

1.线性定常系统的对偶关系 设有两个系统,一个系统?1为

另一个系统?2为

?1?A1x1?B1u1xy1?c1x1

y2?c2x2若满足下列条件,则称?1与?2是互为对偶的。

TTT A2?A1,B2?C1,C2?B1 (8-90) 式中 x1,x2——n维状态矢量;

u1,u2——各为r维与m维控制矢量; y1,y2——各为m维与r维输出矢量; A1,A2——n?n系统矩阵;

B1,B2——各为n?r与n?m控制矩阵; C1,C2——各为n?m与n?r输出矩阵。

显然,?1是一个r维输入m维输出的n阶系统,其对偶系统?2是一个m维输入r维输出的n阶系统。图8-9是对偶系统?1和?2的结构图,从图中可以看出,互为对偶的两系

统,输入端与输出端互换,信号传递方向相反,信号引出点和综合点互换,对应矩阵转置。

?2?A2x2?B2u2x

317