?C??CA?? （8-72） N??????n?1??CA?满秩，即rankN?n。否则当rankN?n时，系统为不能观的。

证明 由式（8-71）可以求得 y(t)?CeAtx(0) 由于 e我们可得

y(t)?Atn?1???k(t)Ak

k?0??k?0n?1k(t)CAkx(0)

?C??CA?? （8-73） ???0(t)I?1(t)I??n?1(t)I??????n?1??CA?因此，根据在时间区间t0?t?tf测量到的y(t)，要能从式（8-73）唯一地确定x(t0)，即

完全能观的充要条件是矩阵

?C??CA?? N??????n?1??CA?满秩。

同样，对于单输出系统，N阵为n?n的方阵，rankN?n与N的行列式的值不为零是等价的，故可以通过计算N的行列式的值是否为零来判断N是否满秩。而对于多输出系统，此时N为nm?n的矩阵，由于矩阵N和N积NN是n?n方阵，而它的秩等价于

TTN的秩，因此可以通过计算方阵NTN的秩来确定N的秩。

三、能控标准型和能观标准型

由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达也不是唯一的。在实际应用中，常常根据所研究问题的需要，将状态空间表达式化成相应的几种标准形式：如约旦标准型，对于状态转移矩阵的计算，能控性和能观性分析是十分方便的。能控标准型对于状态反馈来说比较方便，而能观标准型则对于状态观测器的设计及系统辩识比较方便。无论选用哪种标准形，其实质都是对系统状态空间表达式进行非奇异线性变换，而且关键在于寻找相应的变换矩阵T。这样做的理论依据是非奇异变换不改变系统的自然模态及能控性，能观性，而且只有系统完全能控（能观）才能化成能控（能观）标准型，对于一个传递函数为

bn?1sn?1?bn?2sn?2????b1s?b0 W(s)? （8-74） nn?1s?an?1s?????a1s?a0的系统，可以证明，当其无相消的零极点时，系统一定能控能观，则可直接由传递函数写出其能控、能观标准型。

1．能控标准型

当系统的传递函数如式（8-74），则可直接写出其能控标准型：

314

?1??010?0??x1??0??x?x??x??0??2??001?0?????2?????????????0?u （8-75） ??????

?????????x000?1x?n?1????n?1??????n??1???x????a0?a1?a2??an?1????xn??? y??b0b1b2?bn?1?x

如果给定的能控系统是用状态空间表达式描述的，且并不具有能控标准型的形式，则可用下面的方法将其化为能控标准型。

设系统的状态空间表达式为

x??Ax?buy?cx 若系统是完全能控的，则存在线性非奇异变换

x?Tcx ??10 Tn?1c??Ab??an?11An?2b?b?????a2a3???a1a2?an?1其中ai为系统特征多项式中对应项系数。 使其状态空间表达式（8-76）化为

x??Ax?buy?cx ??010?0??001?0?其中 A?T?1?cATc????????? ?000?1?????a0?a1?a2??an?1????0??0??? b?T?1cb??0? ??????1?? C?CTc??b0b1b2?bn?1?

[例8-10] 试将下列系统变换为能控标准型

??120??2?

x???3?11???x???1??u?020????1?? y??001?x解 （1）先判别系统的能控性

（8-76）

（8-77）

????? （8-78） ??? （8-79）

（8-80） （8-81）

（8-82）

315

1 M?b?Ab?2416??

A2b??168????1212???rankM?3，所以系统是能控的。

（2）计算系统的特征多项式 即a2?0,?I?A??3?9??2

a1??9,a0?2

则由式（8-78）可得 Tc?Ab?2?1Abb??a2??a1?01a20??1642??100???242??861??010????161? 0?????????1????1221?????901????321??根据式（8-80）、（8-81）及（8-82）可求得该系统的能控标准型为

?0???0x?

???2y??3210??0??0?u01?x???? ?90???1??1?x采用式（8-79）很容易写出系统的传递函数

b2s2?b1s?b0s2?2s?3 W(s)?3 ?32s?a2s?a1s?a0s?9s?22．能观标准型

当系统的传递函数如式（8-74），则可直接写出其能观标准型：

?1??0?x?x?2??1??? ?????0????x?n?1?????n??x???0 y??000?00?10????00?00??a0??x1??b0??x??b??a1???2??1??a2??????b2?u （8-83）

????????xn?1?????an?1????xn????bn?1??1?x

当给定的能观系统是用状态空间表达式描述的，且并不是能观标准型，同样可用下面的方法将其变换为能观标准型。

设系统的状态空间表达式为

??Ax?buxy?cx （8-84）

若系统是完全能观的，则存在线性非奇异变换

x?To~x （8-85）

To?1?1an?1?a2a1??CAn?1????n?2?1aa32???CA????????? （8-86）

?????aCAn?1??????01?????C?其中ai为系统特征多项式中对应项系数。

316

使其状态空间表达式（8-84）化为

~~~~??Axx?bu ~~y?cx?0?1?~?1其中 A?ToATo??0?????000?00?10????00??a0??a1???a2? （8-87）

????an?1???b0??b??1?~?1 b?Tob??b2? （8-88）

???????bn?1??~ C?CTo??000?1? （8-89）

第四节 对偶性原理

从前面的介绍中可以看出，能控性和能观性，无论在概念上还是在判据的形式上都存在着内在关系。这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确定的。

1．线性定常系统的对偶关系 设有两个系统，一个系统?1为

另一个系统?2为

?1?A1x1?B1u1xy1?c1x1

y2?c2x2若满足下列条件，则称?1与?2是互为对偶的。

TTT A2?A1,B2?C1,C2?B1 （8-90） 式中 x1,x2——n维状态矢量；

u1,u2——各为r维与m维控制矢量； y1,y2——各为m维与r维输出矢量； A1,A2——n?n系统矩阵；

B1,B2——各为n?r与n?m控制矩阵； C1,C2——各为n?m与n?r输出矩阵。

显然，?1是一个r维输入m维输出的n阶系统，其对偶系统?2是一个m维输入r维输出的n阶系统。图8-9是对偶系统?1和?2的结构图，从图中可以看出，互为对偶的两系

统，输入端与输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和综合点互换，对应矩阵转置。

?2?A2x2?B2u2x

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