第八章控制系统的状态空间分析与综合 下载本文

对式(8-54)在0~t间积分,有 e?Atx(t)??e?A?Bu(?)d?

00tt整理后可得式(8-53)

x(t)?φ(t)x(0)?φ(t??)Bu(?)d?

0?t 很明显,式(8-52)的解x(t)是由两部分组成:等式右边第一项表示由初始状态引起的自由运动,第二项表示由控制激励作用引起的强制运动。 [例8-7] 试求下述系统在单位阶跃函数作用下的解

1??0?0?? x???x??1?u

?2?3????解 (1)先求φ(t)

从上例已求出

?2e?t?e?2te?t?e?2t? φ(t)?? ?t?2t?t?2t??e?2e???2e?e?0? (2)将b???,u(t)?1(t)代入式(8-53)

?1??2e?t?e?2tx(t)???t?2t??2e?e?2e?t?e?2t???t?2t??2e?ee?t?e?2t??x1(0)?t?e?(t??)?e?2(t??)?????(t??)d? ??t?2t???2(t??)?0?e?2e??x2(0)??2e??e?1?t?2t?e?t?e?2t??x1(0)???e?e? ??2??t?2t???e?2e??x2(0)??e?t?e?2t???

四、 离散时间系统状态方程的解

离散时间状态方程有两种解法:递推法和z变换法。这里只介绍常用的递推法,对z变换法感兴趣的读者可参阅有关书籍。

线性定常离散时间系统的状态方程为 x(k?1)?Gx(k)?Hu(k)

x(k)k?0?x(0) (8-55) 用迭代法解矩阵差分方程(8-55) k?0,x(1)?Gx(0)?Hu(0)

k?1,x(2)?Gx(1)?Hu(1)?G2x(0)?GHu(0)?Hu(1)

k?2,x(3)?Gx(2)?Hu(2)?G3x(0)?G2Hu(0)?GHu(1)?Hu(2)

???

k?k?1,x(k)?Gx(k?1)?Hu(k?1)?Gkx(0)?Gk?1Hu(0)???GHu(k?2)?Hu(k) 即 x(k)?Gx(0)?k?Gj?0k?1k?j?1Hu(j) (8-56)

式(8-56)即为线性定常离散时间系统的状态方程(8-55)的解 五、 连续时间状态空间表达式的离散化

数字计算机所处理的数据是数字量,它不仅在数值上是整量化的,而且在时间上是离散化的。如果采用数字计算机对连续时间状态方程求解,那么必须先将其化为离散时间状态方程。当然,在对连续受控对象进行在线控制时,同样也有一个将连续数学模型的受控对象离散化的问题。

离散按一个等采样周期T的采样过程处理,即将t变为kT,其中T为采样周期,而

310

k?0,1,2,?为一正整数。输入量u(t)则认为只在采样时刻发生变化,在相邻两采样时刻之间,u(t)是通过零阶保持器保持不变的,且等于前一个采样时刻之值,换句话说,在kT和(k?1)T之间,u(t)?u(kT)?常数。

在以上假定情况下,对于连续时间的状态空间表达式

??Ax?Buxy?Cx?Du

将其离散化后,则得离散时间状态空间表达式为

x(k?1)?G(T)x(k)?H(T)u(k) (8-57)

y(k)?Cx(k)?Du(k)式中 G(T)?eAT H(T)??e0tAtdtB (8-58)

在采样周期T较小时,一般当其为系统最小时间常数的110左右时,离散化的状态方程可进似表示为

x[(k?1)T]?(TA?I)x(kT)?TBu(kT) (8-59) 即

G(T)?TA?I

H(T)?TB第三节 线性定常系统的能控性和能观性

在控制工程中,有两个问题经常引起设计者的关心。那就是加入适当的控制作用后,能否在有限时间内将系统从任一初始状态控制(转移)到希望的状态上,以通过对系统输出在一段时间内的观测,能否判断(识别)系统的初始状态。这便是控制系统的能控性与能观性问题。控制系统的能控性及能观性是现代理论中很重要的两个概念。在多变量最优控制系统中,能控性及能观性是最优控制问题解的存在性问题中最重要的问题,如果所研究的系统是不可控的,则最优控制问题的解是不存在的。

一、能控性问题

能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控制下,状态矢量x(t)的转移情况,而与输出y(t)无关,所以只需从状态方程的研究出发即可。

1.线性连续定常系统的能控性定义 线性连续定常系统

??Ax?Bu (8-60) x如果存在一个分段连续的输入u(t),能在有限时间区间[t0,tf]内,使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任意终端状态x(tf),则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的,则称系统是状态完全能控的,简称系统是能控的。

2.能控性的判别

线性连续定常单输入系统

??Ax?bu (8-61) x其能控的充分必要条件是由A,b构成的能控性矩阵

AbA2b?An?1b (8-62)

满秩,即rankM?n。否则当rankM?n时,系统为不能控的。

下面来推导系统状态完全能控的条件,在不失一般性的条件下,假设终端状态x(tf)为

M?b状态空间的原点,并设初始时间为零,即t0?0。

方程(8-60)的解为 x(t)?ex(0)?由能控性定义,可得

At???t0eA(t??)bu(?)d?

311

x(tf)?0?eAtfx(0)??e0tfA(tf??)bu(?)d?

即 x(0)??注意到e?A??tf0e?A?bu(?)d? (8-63)

可写成

?A? e???k(?)Ak (8-64)

k?0n?1将方程(8-64)代入方程(8-63)中,可得 x(0)??设

?Akb??k(?)u(?)d? (8-65)

k?0tf0n?1tf?0?k(?)u(?)d???k

那么方程(8-65)变为

x(0)???Ab?kk?0n?1k

??0????1?n?1? ??bAb?Ab (8-66) ??????n?1??要是系统能控,则对任意给定的初始状态x(t0),应能从式(8-66)解出?0,?1,?,?n?1??来,因此,必须保证

M?bAbA2b?An?1b 的逆存在,亦即其秩必须等于n。

同理,可以证明,对于多输入系统

??Ax?Bu (8-67) x其能控的充分必要条件是由A,B构成的能控性矩阵

??A2B?An?1B (8-68)

满秩,即rankM?n。否则当rankM?n时,系统为不能控的。

需要注意的是,对于单输入系统,M阵为n?n的方阵,rankM?n与M的行列式的值不为零是等价的,故可以通过计算M的行列式的值是否为零来判断M是否满秩。而对于多输入系统,此时M为n?nr的矩阵,其秩的确定一般的说要复杂一些。由于矩阵M和MT积MMT是n?n方阵,而它的秩等价于M的秩,因此可以通过计算方阵MMT的秩来确定M的秩。

M?B?AB?[例8-8] 已知某系统如下,试判断其是否能控。

??45???5?? x???x??1?u

10??????525?解 M??bAb??? ??1?5?显然其秩为1,不满秩,故系统为不能控的。

[例8-9] 试判断下列系统的能控性。

?121??10????010?x??01?u x???????103???00?? 312

?101224???2解 M?BABAB?010101

????001042???26617???T MM?632

????17221????易知MM是满秩的,故M满秩,系统是能控的。实际上在本例中,M的满秩从M矩阵

前三列即可直接看出,它包含在 ?BT?1012??

AB???0101????0010??的矩阵中,所以在多输入系统中,有时并不一定要计算出全部M阵。这也说明,在多输入

系统中,系统的能控性条件是较容易满足的。

3.输出能控性概念

如果需要控制的是输出量,则需研究输出能控性。输出能控性定义为 对于系统

y?Cx?Du在有限时间区间t?[t0,tf],存在一个无约束的分段连续的控制输入u(t),能使任意初始

输出y(t0)转移到任意终端输出y(tf),则称系统是输出完全能控的,简称输出能控。

系统输出能控的充分必要条件是

S?CBCABCAB?CABD (8-69) 的秩为输出变量的数目m。即 rankS?m

状态能控与输出能控是两个概念,其间没有什么必然联系。

二、能观性问题

控制系统大多采用反馈控制形式。在现代控制理论中,其反馈信息是由系统的状态变量组合而成。但并非所有的系统的状态变量在物理上都能测取到,于是便提出能否通过对输出的测量获得全部状态变量的信息,这便是系统的能观测问题。

1.能观性定义

能观性表示的是输出y(t)反映状态矢量x(t)的能力,与控制作用没有直接关系,所以分析能观性问题时,只需从齐次状态方程和输出方程出发,即

??Ax?Bux

?2n?1?y?Cx如果对任意给定的输入u(t),在有限的观测时间tf?t0,使得根据[t0,tf]期间的输出

y(t)能唯一地确定系统在初始时刻的状态x(t0),则称状态x(t0)是能观的。若系统的每一

个状态都是能观的,则称系统是状态完全能观测的。

2.能观性的判别 线性连续定常系统

??Ax;x(t0)?x0x (8-70)

??Axx (8-71)

y?Cx其能观的充分必要条件是由A,C构成的能观性矩阵

313