?1?1 ?T(?I?A)T?T?I?AT ?1 ?TT?I?A??I?A

故有等价变换之称。待获得所需结果以后，再引入反变换关系z?Tx，换算回到原来的状态空间中去，得出最终结果。

线性变换是线性代数学内容，下面仅概括指出本书中常用的几种变换关系。 （1）化A为对角形 （a）若A阵为任意形式且有n个互异实数特征值?1,?2,?,?n，即?I?A?0的根，则可由A的特征根直接写出对角阵Λ

?10???2?? （8-25） ?????n???1T阵由A阵而欲得到变换的控制矩阵TB和输出矩阵CT，则必须求出变换矩阵T。

的特征矢量pi(i?1,2,?,n)组成

??1???1Λ?TAT??????0p2?pn? （8-26）

特征向量满足 Api??ipi,i?1,2,?,n （8-27）

[例8-4] 试将下列状态方程变换为对角线标准型

T??p1?1??01?1??x1??0??x?x?2????6?116??x2???0?u?????? ????3???6?115????1???x???x3???y??100?x解 A的特征值可由?I?A?0求出

? ?I?A?6?11?6?0 ??5??11116即

?3?6?2?11??6?(??1)(??2)(??3)?0

解得 ?1??1,?2??2,?3??3 对应于?1??1的特征矢量p1，由式（8-27） Ap1??1p1

1?1??p11??p11??0??????则有 ?6?116p21??p21 ??????????6?115????p31???p31???1???可以解出 p1?0 ????1??同理可以算出对应于?2??2、?3??3的特征矢量p2、p3为

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?1??1????? p2?2 p3?6 ???????4???9??则变换矩阵T由（8-26）写出为

?111??? T?026 ????149??再根据式（8-24）可将该系统变换为对角线标准型

?1???100??z1???2??z?z?2???0?20??z2???3?u??????????3?0?3??0????1???z???z3???

?z1??y??111??z2????z3??(b)若A阵为友矩阵形式且有n个互异实数特征值?1,?2,?,?n，则T阵是一个范德蒙

德(Vandermonde)矩阵，为

1?1??1??????2n??1222?2??n? （8-28） T???1????????n?1n?1n?1??2??n???1? (c)若A阵有q个实特征值?1，其余（n?q）个为互异实数特征值，但在求解Api??ipi(i?1,2,?,q)时，只有一个独立实特征向量p1，则只能使A化为约当阵Λ ??1????0?????1Λ?T?1AT?? ? （8-29）?q?1??0?????n???式中pq?1,?,pn是互异特征值对应的实特征向量。

展开Api??ipi(i?1,2,?,q)时，n个代数方程中若有q个pij(j?1,2,?,n)元素可以任意选择，或只有(n?q)个独立方程，则有q个独立实特征向量。

（2）化A为约当形

（a）若A阵为任意形式且有q个实特征值?1，其余（n?q）个为互异实数特征值，但在求解Api??ipi(i?1,2,?,q)时，仍有q个独立实特征向量p1,?,pq，则仍可使A化为对角阵。

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??11?????1??0???1? （8-30） J???1???q?1????0????n????J中虚线示出存在一个约当块。

T?p1p2?pq?pq?1?pn （8-31）

??式中p2,?,pq是广义特征矢量，满足 ?p1p2???1?pq????1?1??????Ap1?1???1??p2?pq （8-32）

?pq?1,?,pn是互异特征值对应的实特征向量。

从上述分析中可以发现，对角形实际上是约当形的一种特殊形式。 当系统用状态空间表达式来描述时，用上述方法可以比较方便地得到约当形，但若系统直接由传递函数来描述，则用下面的方法更简便。

2．系统的并联型实现 已知系统的传递函数

Y(s)bmsm?bm?1sm?1???b1s?b0 W(s)? （8-33） ?nn?1U(s)s?an?1s???a1s?a0现将式（8-33）展开成部分分式。由于系统的特征根有两种情况，下面分别讨论。

（1）具有互异根情况 此时式（8-33）可以写成

bmsm?bm?1sm?1???b1s?b0 W(s)? （8-34）

(s??1)(s??2)?(s??n)式中?1,?2,?,?n——系统的特征根。

将其展开成部分分式

ncncc1c2Y(s) W(s)????????i （8-35）

U(s)s??1s??2s??ni?1s??i根据式（8-35），容易看出，其模拟结构图如图8-7所示，这种结构采取的是积分器并联的

结构形式。

取每个积分器的输出作为一个状态变量，系统的状态空间表达式分别为

??10?0?2???x ?????00y??c10??1??1??0??x???u??? （8-36） ???????n??1?c2?cn?x? 304

??1?0???x或 ????00??c1??c??2?0??x??2?u??? （8-37） ??????0??n??cn?y??11?1?x式（8-36）和式（8-37）是互为对偶的。同理图8-7a和图8-7b也有其对偶关系。不论

?式（8-36）或式（8-37），它们都属于约当标准型（或对角线标准型），因此，约当标准型的实现是并联型的。

0图8-7 并联型模拟结构图

（2）具有重根的情况

设有一个q重的主根?1，其余?q?1,?q?2,?,?n是互异根。此时式（8-33）可以展开成部分分式

W(s)?c1q(s??1)q?c1(q?1)(s??1)q?1ncic12c11 （8-38） ??????2(s??1)i?q?1(s??i)(s??1)从式（8-38）可知系统的一种实现，具有图8-8所示的结构，除重根是取积分器串联的形式

外，其余均为积分器并联。

图8-8 并联型模拟结构图

从图8-8的结构，不难列出其相应的状态空间表达式

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