事故树分析

4.化相交集为不交集求顶上事件发生概率

某事故树有k个最小割集: El, E2, ? ,Er, ? ,EK, 一般情况下它们是相交的, 即最小割集之间可能含有相同的基本事件。由文氏图可以看出,ErUEs 为相交集合 ,Er + ErEs 为不相交集合, 如图 3-16 所示。

,

亦即 Er U Es =Er + ErEs (3-20) 式中 U -- 集合并运算 ; + -- 不交和运算。 所以有:

P(Er U Es)= P(Er)+P(ErEs) 由式 (3-20) 可以推广到一般式:

,

,

当求出一个事故树的最小割集后, 可直接运用布尔代数的运算定律及式(3-21) 将相交和化为不交和。但当事故树的结构比较复杂时, 利用这种直接不交化算法还是相当烦琐。而用以下不交积之和定理可以简化计算, 特别是当事故树的最小割集彼此间有重复事件时更具优越性。 不交积之和定理:

命题 1 集合 Er 和 Es 如不包含共同元素 , 则应 Es 可用不交化规则直接展开。

命题 2 若集合 Er 和 Es 包含共同元素, 则

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式中 ,Er←s 表示 Er 中有的而 Es 中没有的元素的布尔积。

命题 3 若集合 Er 和 Et 包含共同元素 ,Es 和 Et 也包含共同元素, 则:

命题 4 若集合 Er 和 Et 包含共同元素,Es 和 Et 也包含共同元素, 而且Er←tсEs←t,则： 例题解答

[ 例 3-9] 以图3-12事故树为例,用不交积之和定理进行不交化运算, 计算顶事件的发生概率。

解：事故树的最小割集为:

根据式(3-21) 和命题1、命题3, 得:

设各基本事件的发生概率同前, 则顶事件的发生概率为:

P(T) = q1q4 + (1- q1)q3q5 + q1q3(1- q4)q5 + q1q2 q3(1- q4) (1- q5) = 0.001904872

与前面介绍的三种精确算法相比,该法要简单得多。读者也可与直接不交化算法比较其运算过程。

5.顶事件发生概率的近似计算

如前所述, 按式(3-48) 和(3-19)计算顶事件发生概率的精确解。当事故树中的最小割集较多时会发生组合爆炸问题, 即使用直接不交化算法或不交积之和定理将相交和化为不交和, 计算量也是相当大的。但在许多工程问题中, 这种精确计算是不必

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要的, 这是因为统计得到的基本数据往往是不很精确的,因此, 用基本事件的数据计算顶事件发生概率值时精确计算没有实际意义。所以, 实际计算中多采用近似算法。 ⑴最小割集逼近法: 在式 (3-18) 中, 设:

则得到用最小割集求顶事件发生概率的逼近公式, 即：

式 (3-22)中的F1，F1-F2，F1-F2+F3，??等 , 依此给出了顶事件发生概率P(T)的上限和下限, 可根据需要求出任意精确度的概率上、下限。 用最小割集逼近法求解 [ 例 3-8] 。 由式 (3-22) 可得 :

则有 : P(T)≤1.906×10

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P(T)≥1.906×10 P(T)≤1.906×10 从中可取任意近似区间。

近似计算结果与精确计算结果的相对误差列于表3-15 中。

由表可知, 当以F1作为顶事件发生概率时, 误差只有0.059?; 以F1 -F2作为顶事件发生概率时,误差仅有0.0006299? 。实际应用中, 以F1 ( 称作首项近似法 ) 或F1 -F2作为顶事件发生概率的近似值, 就可达到基本精度要求。

表 3-15 顶事件发生概率近似计算及相对误差 计算项目 项目 F1 F2 F3 数值 1.906×10-3 -3-3-3

顶事件发生概率的近似计算 取值范围 F1 F1 -F2 F1 -F2 +F3 计算值P(T) 0.001906 0.00190486 0.001904872 相对误差/%。 0.059 0.0006299 O 0.00114×10 0.000012×10 -3⑵最小径集逼近法。与最小割集法相似, 利用最小径集也可以求得顶事件发生概率的上、下限。在式(3-19) 中 , 设：

则： P(T) ≥ 1-S1 P(T) ≤1-S1+S2 ??

即: 1-S1≤P(T) ≤1-S1+S2 (3-23) S1+S2≥P(T) ≥1-S1+S2- S3 ??

式 (3-23) 中的1-S1, 1-S1+S2 , 1-S1+S2- S3 , ??等, 依次给出了顶事件发生概率的上、下限。从理论上讲, 式(3-22) 和式(3-23) 的上、下限数列都是单调无限收敛于P(T)的,但是在实际应用中, 因基本事件的发生概率较小, 而应当采用最小割集逼近法, 以得到较精确的计算结果。

(3) 平均近似法。为了使近似算法接近精确值, 计算时保留式 (3-18) 中第一、

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