[例6] 已知关于x的一元二次方程 (m∈Z)

① mx－4x＋4＝0 ② x－4mx＋4m－4m－5＝0 求方程①和②都有整数解的充要条件. 解：方程①有实根的充要条件是

解得m1.

2

2

2

方程②有实根的充要条件是，解得

故m=－1或m=0或m=1.

当m=－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；

当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解. ∴①②都有整数解的充要条件是m=1. [例7] 用反证法证明：若

，则、

证明： 假设、

①+②+③得 这与

则假设不成立， ∴、

、中至少有一个不小于0.

2

2

、、，且，，

、中至少有一个不小于0

、均小于0，即：

----① ； ----② ； ----③；

，

矛盾，

[例8] 已知命题p:方程x＋mx＋1=0有两个不等的负根；命题q:方程4x＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．

分析：“p或q”为真，则命题p、q至少有一个为真，“p且q”为假，则命题p、q至少有一为假，因此，两命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.

解： 若方程x＋mx＋1=0有两不等的负根，则

即命题p：m＞2

2

若方程4x＋4(m－2)x＋1＝0无实根，

2

解得m＞2，

则Δ＝16(m－2)－16＝16(m－4m＋3)＜0 解得：1＜m＜3.即q：1＜m＜3.

因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真， 又“p且q”为假，所以命题p、q至少有一为假，

因此，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.

22

∴

解得：m≥3或1＜m≤2.

四、典型习题导练 1．方程 A.2．“

或

至少有一个负根，则（ ） B.”是“

或

C.

D.

”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．三个数A.C.

不全为0的充要条件是 （ ）

中至多一个是0. 中至少一个不是0.

都不是0. B.中只有一个是0. D.

4．由命题p:6是12的约数，q:6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是：_ ___，“p且q”形式的命题是__ _，“非p”形式的命题是__ _. 5．若

A.F.（1）使（2）使（3）使（4）使

，试从 B.

C.

D.

E.

中，选出适合下列条件者，用代号填空： 都为0的充分条件是 ； 都不为0的充分条件是 ；

中至少有一个为0的充要条件是 ； 中至少有一个不为0的充要条件是 ．

6．分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假．

（1）p: 梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等．

（2）p: 1是方程（3）p: 不等式

2

的解；q：3是方程解集为R；q: 不等式

2

的解． 解集为

．

7．命题：已知a、b为实数，若x＋ax＋b≤0 有非空解集，则a－ 4b≥0.写出该命题的逆

命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．

8．用反证法证明：若a、b、c、d均为小于1的正数，且x=4a(1－b)，y=4b(1－c)，z=4c(1－d)，t=4d(1－a)，则x、y、z、t四个数中，至少有一个不大于1．

错解剖析得真知（二）

第二章 函数概念与基本初等函数

§2.1 映射、函数、反函数

一、知识导学

1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则

，对于集合A中的任何

一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合 B的映射，记作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的对应法则) 2.函数： 设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则

，对于集合A中每一个元

素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都有原象，这样的对应叫做从集合A到集合 B的一个函数，记作

.

定义域.

组成的集合

其中所有的输入值组成的集合A称为函数对于A中的每一个，都有一个输出值

与之对应，我们将所有输出值

称为函数的值域.

3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，

-1

用y把x表示出来，得到x=f(y)

-1

. 若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数

-1

叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f(y). 我们一般用x表示自变量，用y 表示函

-1-1-1

数，为此我们常常对调函数x=f(y)中的字母x,y，把它改写成y=f(x) 反函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

二、疑难知识导析

1.对映射概念的认识 (1)

与

是不同的，即

与

上有序的.或者说：映射是有方向的，

(2) 输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.

(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合. 2.对函数概念的认识 （1）对函数符号

的理解知道 y=

与

的含义是一样的，它们都表示

.

是单值对应.

是

的函数，其中 是自变量，是函数值，连接的纽带是法则

(2)注意定义中的集合 A，B都是非空的数集,而不能是其他集合； （3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图象法. 3.对反函数概念的认识 （1）函数y=

只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；

（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.

（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图象关于y=x对称.

三、经典例题导讲

[例1]设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数； （2）从M到N的映射满足

(a)>

(b)≥f(c),试确定这样的映射

的种数.

错解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有

，共6个映射

(2)由（1）得满足条件的映射仅有一种情况

错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清

正解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有