“材料科学与工程基础”第二章习题

1. 铁的单位晶胞为立方体，晶格常数a=0.287nm，请由铁的密度算出每个单位晶胞所含的原子数。

ρ铁＝7.8g/cm3 1mol铁＝6.022×1023 个=55.85g

所以， 7.8g/1(cm)3=(55.85/6.022×1023)X /(0.287×10-7)3cm3

X＝1.99≈2（个）

2.在立方晶系单胞中，请画出：

（a）[100]方向和[211]方向，并求出他们的交角； （b）（011）晶面和（111）晶面，并求出他们得夹角。

（c）一平面与晶体两轴的截距a=0.5,b=0.75,并且与z轴平行,求此晶面的密勒指数。 （a）[2 1 1]和[1 0 0]之夹角θ＝arctg

或 cos??2 =35.26。 2[211][100]22?12?12*12?02?02[111][011]??2 ， ??35.26? 3（b）cos??12?12?1202?12?122，??35.26? 3（c） a=0.5 b=0.75 z= ∞

倒数 2 4/3 0 取互质整数（3 2 0）

3、请算出能进入fcc银的填隙位置而不拥挤的最大原子半径。

室温下的原子半径R＝1.444A。（见教材177页） 点阵常数a=4.086A

最大间隙半径R’=（a-2R）/2=0.598A

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4、碳在r-Fe（fcc）中的最大固溶度为2.11﹪(重量百分数),已知碳占据r-Fe中的八面体间隙,试计算出八面体间隙被C原子占据的百分数。

在fcc晶格的铁中，铁原子和八面体间隙比为1：1，铁的原子量为55.85，碳的原子量为12.01

所以 （2.11×12.01）/(97.89×55.85)＝0.1002 即 碳占据八面体的10％。

5、由纤维和树脂组成的纤维增强复合材料，设纤维直径的尺寸是相同的。请由计算最密堆棒的堆垛因子来确定能放入复合材料的纤维的最大体积分数。

见下图，纤维的最密堆积的圆棒，取一最小的单元，得，单元内包含一个圆（纤维）的面积。

2r 3r 2

所以，?r22r*r3??23?0.9064。

即纤维的最大体积分数为90.64％。

6、假设你发现一种材料，它们密排面以ABAC重复堆垛。这种发现有意义吗？你能否计算这种新材料的原子堆垛因子?

fcc和hcp密排面的堆积顺序分别是ABCABC……和ABAB…, 如果发现存在ABACABAC……堆积的晶体，那应该是一种新的结构，而堆积因子和fcc和hcp一样，为0.74。

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7.在FCC、HCP和BCC中最高密度面是哪些面？在这些面上哪些方向是最高密度方向？

密排面 密排方向

FCC {1 1 1)} <1 1 0> HCP (0 0 0 1) (1 1 2 0) BCC {1 1 0)} <1 1 1>

8.在铁中加入碳形成钢。BCC结构的铁称铁素体，在912℃以下是稳定的，在这温度以上变成FCC结构，称之为奥氏体。你预期哪一种结构能溶解更多碳?对你的答案作出解释。

奥氏体比铁素体的溶碳量更大，原因是1、奥氏体为FCC结构，碳处于八面体间隙中，间隙尺寸大（0.414R）。而铁素体为BCC结构，间隙尺寸小，四面体间隙0.291R，八面体间隙0.225R；2、FCC的间隙是对称的，BCC的间隙是非对称的，非对称的间隙产生的畸变能大；3、奥氏体的形成温度比铁素体高，固溶体温度高，溶碳量大；所以奥氏体的溶碳量比铁素体溶碳量大。

9． 试说明为何不能用描述宏观物质的运动方程来描述微观粒子的运动状态？描述微观粒子状态变化的基本方程是什么？

根据海森堡思维测不准原理，微观粒子由于具有玻粒两象性则对于经典力学中的一对共轭参量（如动量与位移，能量与时间），原则上不可能同时精确确定，而宏观物质的运动状态符合牛顿力学，原则上可以同时确定各个参量，描述微观粒子的运动状态是波函数，而波函数的变化需满足薛定谔方程。

10．设一能级的电子占据几率为1/4，另一能级为3/4， (1)分别计算两个能级的能量比费米能高出多少KT； (2)应用计算结果说明费米分布的特点。

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由费米分布函数得： （1）

11??1 得：E?EF?KTln3?KT E?EF4eKT31??1 得：E?EF??KTln3??KT 4E?EFeKT（2）以上的计算结果说明能量低于费米能（EF）KT的能级有1/4的电子发生了跃迁，而KT是平均势能，通常情况下势能KT（如室温）要比势能小两个数量级以上，可以在外场(如温度)的作用下，发生跃迁（跃过费米面）的电子需处于费米面附近的能级上，离费米面越远的能级发生跃迁的概率越低。

11．何为能带？请用能带理论解释金属、绝缘体、半导体的电学性能。

能带理论：当原子相互靠拢形成晶体时，原子的外层电子的能级发生了分裂和拓宽，形成准连续的能级。由于这些外层电子在晶格中周期性的势场中运动，解电子运动状态波函数的薛定谔方程时，方程中的外势场U ? 0，由此解得，晶体中价电子得能带中存在着禁带和导带，这即是能带理论。

金属的能带结构：存在着两种情况，一是能带中存在着不完全价带，另一是能量重叠，这都使得金属具有导电性。

绝缘体的能带结构：能带结构中存在着宽的禁带，使价电子在外场作用下难以进入导带。

半导体的能带结构：能带结构中的禁带较窄，价电子在外场作用下能一定程度的进入导带，导电率介于导体和绝缘体之间。

12．试解释面心立方晶体和密排六方晶体结构不同、致密度相同的原因。

面心立方和密排六方晶体的堆垛都是最密排面（面配位数为6）的堆垛，层 与层都堆垛在相互的凹槽当中，但是堆垛的顺序不同（分别为ABCABC…..和ABAB…），所以它们的致密度相同，结构不同。

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13．请解释名词：空间点阵、晶胞、晶系

空间点阵：是实际晶体结构的数字抽象，它概括晶体结构的周期性，空间点阵中的阵点（几何点）的周围环境是相同的，空间点阵有14种。

晶胞：晶胞是晶格中的最小基本单元，它反映了晶格排列的规律性和对称性，为

一平行六面体。

晶系：根据晶胞中的点阵常数（a,b,c,α,β,γ）的相互关系，可以把晶格分为7大

晶系。

14. 试解释什么叫费米面和费米能。

费米能：绝对零度时固体中电子所具有的最高能级，或者，在体积不变的条件

下，系统增加一个电子所需的自由能。

费米面：在K空间中具有费米能的能级所处的面称为费米面。

15. 试分析晶体中的点缺陷是一种热力学平衡缺陷的原因。 根据热力学公式?G??H?T?S

当晶体存在点缺陷时，系统的增加，也增加，点缺陷数量少时，每增加一个点缺陷，系统的内能增加一份（缺陷形成能），而熵值（混乱度）的增加较多，使得系统的自由能下降，随着晶体的缺陷数量的增加，焓近似的成线性增加，但是熵值的增加变缓，从而使得系统的自由能?G??H?T?S存在着一个最小值，这时所对应的晶体缺陷的数量即是平衡浓度。

16. 假设1%（质量分数）的B加入Fe中， a. B以间隙还是置换杂质存在？

b. 计算被B原子占据的位置（不论是间隙或者是置换）的分数。 c. 若含B的Fe进行气体渗碳，这个过程会比在不含B的Fe中进行得快还是慢？请解释。

（a）B是小分子，它在铁的晶格中以间隙的形式存在。

（b）（1）若B占据α-Fe（bcc）中的八面体间隙位置，则bcc晶胞中有2个铁原

子，6个八面体间隙，

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所以 (1%/10.812*)%?1.7 4?%/55.8561*55.851*)%?5.22%

99*10.811（2）若B占据α-Fe（fcc）中的八面体间隙位置，则(（c）当铁中的B含量少时，少量的B会使晶格产生畸变，系统能量升高，扩散系数D增大，有利于渗碳时C的扩散。

当铁中的B趋向于饱和时，C在铁中的溶解度大大下降（畸变能太大），即C在铁中的溶剂和扩散的化学驱动力大大下降，不利于碳的扩散。

17. 在室温下SiO2可以是玻璃也可以是晶态固体。问在玻璃态的二氧化硅还是在晶态二氧化硅中扩散更快？为什么？

玻璃态的二氧化硅系统自由能大于晶态的二氧化硅，所以玻璃态中的扩散系数更大些。

18. 何为位错？它有哪些类型？什么叫滑移？什么叫攀移？在什么情况下会发生滑移和攀移。

位错即是晶体中的线缺陷，基本类型有：刃位错，螺位错和混合位错。 滑移：晶体的一部分相对于另一部分在切应力作用下沿一定的晶面进行相对滑

动。滑移是位错在滑移面上移动并移出表面而实现的。

攀移：刃位错在正应力作用下垂直于滑移面的运动，滑移是位错在切应力作用下

沿滑移面运动并移出晶体表面实现的，攀移是刃位错在正应力作用下垂直于滑移面的运动，攀移只有刃位错才能进行，并需借助于扩散才能攀移，所需的温度比位错的滑移要高。

19.是一个柏氏矢量为b的位错环， 在剪切应力的作用下，求：

I)该位错环各段位错线的结构类型（位错线方向为顺时针方向）；

II)指出其中刃型位错的半原子面位置；

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III）在?的作用下，该位错环在晶体中如何运动？运动结果如何？ IV) ?=0时，该位错线是否会稳定存在，为什么？

答：Ⅰ.a段为正刃，b段为负刃，c段为左螺，d段为右螺。

Ⅱ.a段半原子面在滑移面上方，b段半原子面在滑移面下方。

Ⅲ.在切应力作用下，位错环沿着滑移面滑移，最终移出表面，在柏氏矢量方向产生一

个柏氏矢量长度的台阶。

Ⅴ.切应力等于零时，该位错环在位错张力的作用下，存在一个指向位错环中心的收缩

力，如果晶格阻力小于位错环的收缩力，位错环收缩变小。晶格阻力如果为零，则位错环收缩为一点而消失。

20. 柏氏矢量的物理意义是什么？当一根位错线在什么条件下才能自发转变成另两根位错线？

柏氏矢量的物理意义是反映了位错的畸变大小和方向，一根位错线自发转变成为

??????????????两根位错线的条件是：矢量相等，能量下降。（b1?b2?b3 ，b1?b2?b3）。

21. 为什么间隙固溶体中的溶质扩散要比置换固溶体中的溶质扩散快得多？请解释之。

同隙固溶体溶质的扩散所需的激活能低（只要迁移能?HM）而置换固溶体溶质的扩散所需激活能较高（迁移能?HM＋空位形成能?HV），所以间隙固溶体溶质的扩散比置换的要快(D?D0e??/RT)。

22. 晶体在低温时的扩散以晶界扩散为主，高温时以体积扩散为主，试述理由。 由于扩散系数为D?D0e??/RT。在低温时晶格的扩散系数很小（Q大，T小），晶界的扩散系数较大（Q小，T大）。所以，低温时晶体扩散以晶界扩散为主，在高温时晶格的扩散系数D大大增大（Q比晶界的Q大些，T大），同时由于晶格的扩散路径比晶界要多得多，所以高温扩散以晶格扩散为主。

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23.考察FCC金属Cu，其点阵常数a为0.362nm。 a. 计算这个材料最低能量的柏氏矢量的长度。 b. 以Cu原子半径表达这一长度。

c. 在这种材料中，滑移发生在那个晶面族？

(a) 最低能带的柏氏矢量即为晶格密排方向的原子间距，

?2所以：b?a?0.256nm

2?(b) b?2R(R为Cu的原子半径)。

（c）滑移面为?111?。

23．钼（Mo）晶体的柏氏矢量长度是0.272nm。若Mo的点阵常数是0.314nm，确定Mo具有BCC还是FCC晶体结构。

若M0为fcc结构，则M0原子的直径DM0为：

?2DM0=a?0.222nm?0.272?b

2?3若M0为bcc结构，则 D’M0=a?0.272?b

2所以M0具有bcc结构。

24. 为什么柏氏矢量通常是处在密排方向？

由于密排方向上的位错的柏氏矢量最短，位错的能量最低，即位错生成和滑移所

?2需的能量越低（E?b）。

25. 为什么密排面通常是滑移面？

因为密排面的晶面间距最大，面和面之间的键的数量最少，所以位错在滑移面上运动的晶格阻力最小。

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26. 下面给出BCC金属中的位错反应，说明在矢量运算上是正确的，在能量上它是有利的。

(a/2)[1 1 1]+(a/2)[1 ī ī] a[1 0 0]

aa???111? 在?111??????a?100?的位错反应中， 22??aa???aa??111?111?[(1?1)?(1?1)?（1?1)]?[200]?a[100]=右边。 左边：????222222aa???a23??(3?3)?a2?a[100]?a2 左边：?111???11122??42所以上述的位错反应是自发的。

27. 在FCC固体中柏氏矢量为（a/2）[1 0 1]位错，位错平行于[ī 1 0]。确定位错的类型和它的滑移面，这个位错能由滑动而移动吗？

???0,两位错线的夹角为 位错的b为a/2[101]，位错线的方向为?11??1cos???,??1200 。该位错为混合位错。滑移面为{111}晶面族中通过

2?a?b??101?的晶面111，图略。

2???该混合位错中的螺位错或刃位错的位错分量可沿111面进行滑移面移动。

??

28.为什么FCC金属的塑性比HCP及BCC金属的大？

fcc金属有12个滑移系,滑移系由最密排面和最密排方向组成，所以fcc金属的塑性最好。

hcp金属只有3个滑移系，但滑移系由最密排的滑移面和滑移方向组成，所以hcp金属的单晶体塑性好，多晶体塑性差。bcc金属的滑移系很多（室温下有12个滑移系），但滑移系中的滑移面不是最密排的面，所以塑性比fcc的差，与hcp相比， 单晶时bcc的塑性逊于hcp，多晶时bcc的塑性比hcp要好。

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29.讨论刃型位错和螺型位错的共同点和差异点。

? 共同点：都是线缺陷，滑移的结果都是由于其b决定，即滑移产生的台阶大小和

?方向仅取决于b的大小和方向，与位错类型无关。

?差异点：刃位错的b与位错线垂直，而螺位错是平行。刃位错的能量高于螺位错。

刃位错可以滑移或攀移，而螺位错智能滑移。

刃位错的应力场有正应力和切应力，而螺位错只有切应力场。 一个刃位错只有一个滑移系，一个螺位错可有多个滑移系。

30. 何为拐点分解，在什么情况下会发生拐点分解。

拐点分解：一相自发的不需要通过成核长大而发生的相变过程，它是一种上坡扩

散的过程。发生拐点分解的条件是当该相的成分－自由能曲线呈现两个拐点时，在拐点之间任意成分的波动都将使系统的能量下降，最终自发的分解为两相。

31. 试使用相律指出右图的AB 二元相图的错误之处，并加以解释和修正。

在题目的错误相图中，纯组元A结晶

时相率温度不能是变量，所以a和b点应该是同一点。Cde线为共晶线，根据相率此三项的自由度是零，即温度和成分都不能改变。所以cde线为水平线，共晶温度不变，ac线和bc线合并，增加ad线。

正确的相图为

c d

e

a

f

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A

B

32. 什么叫固溶体？什么叫中间相？他们的结构和性能有哪些差异？试分析之。 固溶体:成分在一定范围可持续变化，结构取溶剂的结构，性能与溶剂晶体的性能相近。

中间相:结构与组成元素的结构不同，性能是硬而脆。

在相图中的位置：固溶体位于相图的端部，中间相位于相图的中间部位（非端部）

问题34与图下图的二元相图及X0合金有关。

TA和TB分别代表A和B的平衡熔化温度，标出相图的各个相区。 a. 这类平衡图的名称是什么？

b. 如果组元A具有FCC结构，组元B的晶体结构是什么？为什么？

c. 示意画出X0合金和纯组元B的平衡冷却曲线，解释为什么它们的形状不同。 d. X0合金的液相线温度和固相线温度是什么？

e. X0合金在1100℃时每一个平衡相的成分是什么？确定在1100℃液体的分数?L

和固体的分数?S。

f. X0合金在平衡条件下从1200℃冷却到室温，画出它的?L和?S随温度的变化略图。

g. 用图7-43的相图，当平衡冷却通过两相区时，说明液相和固相的成分怎样变化。

（a） 该平衡图为均相相图

（b）B组元的晶体结构与A组元相同，也为fcc结构。

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（c）X0合金的冷却曲线 纯组元B的冷却曲线

α L-α L

L L-α 980°

α

由于X0为二元合金，在发生两相平衡时有一个自由度，即温度是变量，而纯组元B为两相平衡，温度应该不变。

（d）X0合金的液相线温度是约1110℃，而固相温度约为1070℃。

（e）X0合金在1100℃时，液相的成分约为33％B,固相成分约为54％。 此时fL? （f）

0

1110°

1070°

T

f 100% 50?3354?50?81%, fS??19%，x0%?50%

54?3354?33fS fL （g） 平衡冷却通过两相时，液相的成分由X0浓度逐渐增大，固相的浓度由小（约

29％B）逐渐增大到X0（50％）。

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35. 考虑一个假设相图，其中组元A在900℃熔化，组元B在1000℃熔化，在600℃有一个不等温转变。B在α中的溶解度从在室温时几乎为零上升到最大值的10%。当一个含30%B的合金在平衡条件下冷却到稍高于600℃时，出现50%α相合50%液相，而冷却到稍低于600℃时合金含α和β两相，α的分数为0.75。在平衡条件下冷却到室温后，在α+β混合体中α的量减为68%。画出这个平衡相图。 解：

设共晶点成分为X%：α%=50%={（X-30）÷(X-10)}% X%=50%

设β相最大的溶解度成分（共晶温度）为Y%：0.75=（Y-30）÷（Y-10） Y%=90% 设β相室温的溶解度成分为Z%：0.68=（Z-30）÷（Z-0） Z%=93.75%

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