第4章 分离变量法

物理学、力学和工程技术等方面的许多问题都可归结为偏微分方程的定解问题，上一章我们已初步看到怎样把具体的物理问题表达为定解问题.下面一个重要任务是怎样去解决这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解.

从微积分学得知，在计算诸如多元函数的微分及重积分时总是把它们转化为单元函数的相应问题来解决.与此类似，求解偏微分方程的定解问题也是要设法把它们转化为常微分方程问题，分离变量法就是常用的一种转化手法.本章我们将通过实例来说明分离变量法的步骤和实质.在4.2我们讨论了如何处理第三类齐次边界条件（当然也包括第二类边界条件）.在4.3说明如何在极坐标系下使用分离变量法.在4.4及4.5我们讨论了如何处理非齐次方程及非齐次边界条件的问题，本章的最后还安排了两个较为综合性的例子作为总结.

4.1 有界弦的自由振动

为了使读者了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题.

根据第3章所得的结论，讨论两端固定的弦的自由振动，就归结为求解下列定解问题

2??2u2?u?2?a,0?x?l,t?0;2?t?x??ux?l?0;?ux?0?0,??u??(x),?u??(x).t?0??tt?0? (4.1)(4.2) (4.3)

这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的，求解这样的问题，可以运用叠加原理.我们知道.在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件.这就启发我们，要解问题(4.1),(4.2),(4.3)，先寻求齐次方程（4.1)的满足齐次边界条件(4.2)的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件(4.3).

现在我们试求方程(4.1)的变量分离形式u(x,t)?X(x)T(t)的非零解，并要求它满足齐次边界条件(4.2),式中X(x),T(t)分别表示仅与x有关及仅与t有关的待定函数. 由

u(x,t)?X(x)T(t)

得

?2u?2u?X''(x)T(t),2?X(x)T''(t), ?x2?t

代入方程(4.1)得

X(x)T??(t)?a2X??(x)T(t)

或

X??(x)T??(t) ?X(x)a2T(t)这个式子左端仅是x的函数，右端仅是t的函数，一般情况下二者不可能相等，只有当它们均为常数时才能相等.令此常数为?，则有

X??(x)T??(t)?2??.

X(x)aT(t)这样我们得到两个常微分方程：

T??(t)??a2T(t)?0, （4.4）

X??(x)??X(x)?0. （4.5）

再利用边界条件(4.2)，由于u(x,t)?X(x)T(t))，故有

X(0)T(t)?0,X(l)T(t)?0.

但T(t)?0,因为如果T(t)?0，则u(x,t)?0，这种解显然不是我们所要求的，所以

X(0)?0,X(l)?0. （4.6）

因此，要求方程（4.1）满足条件(4.2)的分离变量形式的解，就先要从方程

?X''(x)??X(x)?0, ?X(0)?X(l)?0?中解出X(x).

现在我们就来求非零解X(x)，但要求出X(x)并不是一个简单的问题，因为方程(4.5)中含有一个待定常数?，所以我们的任务既要确定?取何值时方程(4.5)才有满足条件(4.6)的非零解，又要求出这个非零数X(x).这种常微分方程问题称为固有值问题，?称为特征值（固有值，本征值），函数X(x)称为特征函数（固有函数，本征函数）.下面根据第1章所介绍的方法，我们对?分三种情况来讨论.

1°?＞0，此时方程(4.5)的通解为

X(x)?Ae?x?Be??x.

由条件(4.6)得

A?B?0，

Ae?l?Be??l?0.

解出A,B得

A?B?0，

即X(x)?0，不符合非零解的要求，因此?不能大于零.

2°设?=0，此时方程(4.5)的通解为

X(x)?Ax?B，

由条件(4.6)还是得A?B?0，所以?也不能等于零.

3°设?＜0，并令????2,?为非零实数.此时方程(4.5)的通解为

X(x)?Acos?x?Bsin?x,

由条件(4.6)得

A?0, Bsin?l?0.

由于B不能为零（否则X(x)?0），所以sin?l?0,即

??n?.l(n?1,2,3,?),

（n为负整数可以不必考虑，因为例如n??1,Bsin式）从而

?2?2?x实际上还是B?sinx的形lln2?2???2, （4.7）

l这样，我们就求出了一系列固有值及相应的固有函数：

n2?2?n??2.lXn(x)?Bnsinn?xl(n?1,2,3,?),

(n?1,2,3,?), （4.8）

限定了?的值后，现在再来求函数T(t)，以(4.7)式中的?值代入方程(4.4)中得

222an?Tn??(t)?T(t)?0, 2l显然，其通解为

'Tn(t)?Cncosn?atn?at'?Dnsinll(n?1,2,3,?). （4.9）

于是由(4.8)，（4.9）得到满足方程(4.1)及边界条件(4.2)的一组变量被分离的特解

n?atn?at?n?x?un(x,t)??Cncos?Dnsinsinll?l??(n?1,2,3,?), (4.10)

其中Cn?BnCn?,Dn?BnDn?是任意常数，至此，我们的第一步工作已经完成了，求出了既满足方程(4.1)又满足边界条件(4.2)的无穷多个特解.为了求原定解问题的解，还需要满足

条件(4.3).由(4.10)式所确定的一组函数虽然已经满足方程(4.1)及条件(4.2)，但不一定满足初始条件(4.3).为了求出原问题的解，首先我们将（4.10）中所有函数un(x,t)叠加起来

u(x,t)??un(x,t)

n?1? ?n?an?a??Ccost?Dsin???nnll?n?1??n? sinx , （4.11）

l如果(4.11)右端的无穷级数是收敛的，而且关于x,t都能逐项微分两次，则它的和u(x,t)也满足方程(4.1)和条件（4.2)（参考习题三第6题）.现在我们要适当选择Cn,Dn，使函数u(x,t)也满足初始条件（4.3），为此必须有

u(x,t)t?0?u(x,0)??Cnsinn?1?n?x??(x), l??un?an???Dnsinx??(x), ?tt?0n?1ll因为?(x),?(x)是定义在[0,l]上的函数，所在只要选取Cn为?(x)的傅氏正弦级数展开式的系数，

n?aDn为?(x)的傅氏正弦级数展开式的系数，也就是 l2ln??C??(x)sinxdx,??nl?0l （4.12） ?ln??D?2?(x)sinxdx.n?n?a?0l?初始条件(4.3)就能满足，以(4.12)所确定的Cn,Dn代入(4.11)式，即得原定解解问题的解.

当然，如上所述，要使(4.11)式所确定的函数u(x,t)确定是问题(4.1)，(4.2)，(2.3)的解，除了其中的系数Cn,Dn必须由(4.12)确定以外，还要求只要对函数?(x)及?(x)加一些条件就能满足，可以证明（参阅复旦大学数学系编《数学物理方程》第二章§1），如果?(x)三

次连续可微，?(x)二次连续可微，且?(0)??(l)????(0)????(l)??(0)??(l)?0，则问题(4.1)，(4.2)，（4.3)的解存在.并且这个解可以用(4.11)给出，其中Cn,Dn由（4.12）式确定??.

从上面的运算过程可以看出，用分离变量法求解定解问题的关键步骤是确定固有函数与运用叠加原理，这些运算之所以能够进行，就是因为偏微分方程与边界条件都是齐次的，这一点希望读者一定要注意.

例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为?(x)?求弦作微小横向振动时的位移.

解 设位移函数为u(x,t)，它是下列定解解问题

2??2u2?u?2?a,0?x?10,t?0;2?t?x?? ?ux?0?0,ux?10?0;??u?x(10?x),?u?0l?0?1000?tt?0?2的解，这时l?10，并给定a?10000（这个数字与弦的材料、张力有关）.

x(10?x)，

1000显然，这个问题的傅氏级数形式解可由(4.11)给出，其系数按（4.12）式为

Dn?0,Cn?101n?x(10?x)sinxdx ?05000102?33(1?cosn?)5n?当n为偶数?0,???4, 当n为奇数??5n3?3因此，所求的解为

u(x,t)?45?3?(2n?1)n?0?1sin3(2n?1)?xcos10(2n?1)?t.

10为了加深理解，下面我们扼要地分析一下级数形式解(4.11)的物理意义，先分析一下级数中每一项

n?an?a?n??u(x,t)??Cncost?Dnsint?sinx

lll?? ??

这里所讲的结论经适当修改即可用于下面几节将要讨论的定解问题，所以，本书中凡是用分离变量法求

解的定解问题都假定它的定解条件具备一定的条件，保证定解问题的解可以表示成级数的形式，或者说可以运用叠加原理.

的物理意义，分析的方法是：先固定时间t，看看在任一指定时刻波是什么形状；再固定弦上一点，看看该点的振动规律.

把括号内的式子改变一下形式，可得

u(x,t)?Ancos(?nt??n)sin22Cn?Dn,?n?n?x, l其中An?Dn?a,?n?arctgn. lCn当时间t取定值t0时，得

u(x,t)?An?sinn?x, l其中An??Ancos(?nt0??n)是一个定值，这表示在任一时刻，波un(x,t0)的形状都是一些正弦曲线，只是它的振幅随着时间的改变而改变.

当弦上点的横坐标x取定值x0时，得

un(x0,t)?Bncos(?nt??n),

其中Bn?Ansinn?x是一个定值.这说明弦上以x0为横坐标的点作简谐振动，其振幅为l0Bn，角频率为?n，初位相为?n.若x取另外一个定值时，情况也一样，只是振幅Bn不同

罢了，所以un(x,t)表示这样一个振动波：在考察的弦上各点以同样的角频率?n作简谐振动，各点处的初位相也相同，而各点的振幅则随点的位置改变而改变；此振动波在任一时刻的图形是一正弦曲线.

这种振动波还有一个特点，即在[0,l]范围内还有n?1个点（包括两个端点）永远保持

不动，这是因为在xm?mln?(m?0,1,2,?,n)那些点上，sinx?sinm??0的缘故，nlm这些点在物理上称为节点.这就说明un(x,t)的振动是在[0,l]上的分段振动，其中有n?1个节点，人们把这种包含节点的振动波叫做驻波.另外驻波还在n个点处振幅达到最大值（读者可自己讨论），这种使振幅达到最大值的点叫做波腹.图4-1画出了在某一时刻n?1,2,3的驻波形状.

综合上述，可知un(x,t),(n?1,2,3,?)是一系列驻波，它们的频率、位相与振幅

图4-1

都随n不同而不同，因此我们可以说，一维波动方程用分离变量法解出的结果u(x,t))是由一系列驻波叠加而成的，而每一个驻波的波形由固有函数确定，它的频率由固有值确定.这完全符合实际情况，因为人们在考察弦的振动时，就发现许多驻波，它们的叠加又可以构成各种各样的波形，因此很自然地会想到用驻波的叠加表示弦振动方程的解.这就是分离变量法的物理背景.所以分离变量法也称为驻波法.

4.2 有限长杆上的热传导

设有一均匀细杆，长为l，两端点的坐标为x?0与x?l，杆的侧面是绝热的，且在端点x?0处温度是零度，而在另一端x?l处杆的热量自由发散到周围温度是零度的介质中去（参考第3章1.2中第三类边界条件），已知初始温度分布为?(x).求杆上的温度变化规律，也就是要考虑下列定解问题：

2??u2?u,0?x?l,t?0;??a2?t?x??u(l,t)?u(0,t)?0,?hu(l,t)?0;??x??u(x,0)??(x).?? （2.13）(2.14)(2.15)

我们仍用分离变量法来解这个问题，首先求出满足边界条件而且是变量被分离形式的特解.设

u(x,t)?X(x)T(t),

T?(t)X??(x)?.

a2T(t)X(x)上式左端不含有x，右端不含有t，所以只有当两端均为常数时才可能相等.令此常数为（读者可以从方程X??(x)??X(x),结合边界条件按?取值的三种不同情况像4.1那??2，

样讨论后得出），则有

T?(t)X??(x)????2, 2aT(t)X(x)从而得到两个线性常数微分方程

T?(t)?a2?2T(t)?0,X??(x)??X(x)?0.解后一个方程得

2 （4.16）

X(x)?Acos?x?Bsin?x,

由边界条件(4.14)可知

X(0)?0,X'(l)?hX(l)?0.

从X(0)?0得 A?0，从X?(l)?hX(l)?0.得

?cos?l?hsin?l?0. （4.17）

为了求出?，方程(4.17)可改写成

tg??a?， （4.18）

其中???l,a??1.方程(4.18)的根可以看作是曲线y1?tg?与直线y2?a?交点的横hl坐标（图4-1），显然它们的交点有无穷多个，于是方程(4.18)有无穷多个根，由这些根可以确定出固有值?.设方程(4.18)的无穷多个正根（不取负根是因为负根与正根只差一个符号（图4-2），再根据4.1中所述的同样理由）为

?1,?2,?3,?,?n,?

于是得到无穷多个固有值

图4-2

?1?及相应的固有函数

?1l,?2??2l,?,?n??nl,?

Xn(x)?Bnsin?nx. （4.19）

再由(4.16)中第一个方程解得

Tn(t)?Ane22??nat. （4.20）

由(4.19)，（4.20)两式，我们得到方程（4.13）满足边界条件(4.14)的一组特解

un(x,t)?Xn(x)Tn(t)?Cne其中 Cn?AnBn.

22??natsin?nx(n?1,2,3,?), （4.21）

由于方程(4.13)与边界条件(4.14)都是齐次的，所以

u(x,t)??un(x,t)??Cne??natsin?nx （4.22）

n?1n?1??22仍满足方程与边界条件，最后考虑u(x,t)是否能满足初始条件(4.15)，从(4.22)式得

u(x,0)??Cnsin?nx.

n?1?现在希望它等于已知函数?(x)，那么首先要问[0,l]上定义的函数?(x)是否能展开为

?Cn?1?nsin?nx级数形式，其次要问系数Cn如何确定，关于前者，只要?(x)在[0,l]上满足

狄氏条件就可以了，现在主要谈求系数的问题.回忆傅氏系数公式的得来是根据函数系的正交性，所以现在也要考察函数系?sin?nx在[0,l]上的正交性，可以证明（参阅§5.3关于固有函数正交性的证明方法）

??于是把

l0sin?mxsin?nxdx?0,m?n.

令 Ln??l0sin2?nxdx,

?(x)??Cnsin?nx （4.23）

n?1?的两端乘上sin?kx，然后在[0,l]上积分得

??(x)sin?0lkxdx?LkCk

1即 Ck?Lk?L0 ?(x)sin?kxdx. （4.24）

把(4.24)代入(4.22)式即得原定解问题的解.

通过上面两节的讨论，我们对分离变量法已经有了一个初步的了解，它的主要步骤大体为：

一、首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题，这对线性齐次偏微分方程来说是可以做到的.

二、确定固有值与固有函数.由于固有函数是要经过叠加的，所以用来确定固有函数的方程与条件，当函数经过叠加之后仍旧要满足，当边界条件是齐次时，求固有函数就是求一个常微分方程满足零边界条件的非零解.

三、定出固有值、固有函数后，再解其他的常微分方程，把得到的解与固有函数乘起来成为un(x,t)，这时un(x,t)中还包含着任意常数.

四、最后为了使解满足其余的定解条件，需要把所有的un(x,t)叠加起来成为级数形式，这时级数中的一系列任意常数就由其余的条件确定，在这最后的一步工作中，需要把已知函数展开为固有函数项的级数，所以，必须考虑固有函数的正交性.

由本节的例子还可以看出，用分离变量法求解第三类边界条件（第二类边界条件也一样）的定解问题时，只要边界条件都是齐次的，其过程与解第一类边界条件的定解问题是相同的，但在确定固有值时，一般说来是比较复杂的.

4.3 圆城内的二维拉普拉斯方程的定解问题

一个半径为?0的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘温度分布为已知，求达到稳恒状态时圆盘内的温度分布.

在第3章讲过，热传导问题达到稳恒状态时温度分布与时间无关，应满足拉普拉斯方程

?2u?0.

因为边界形状是个圆周，它在极坐标下的方程为??为

?0，所以在极坐标系下边界条件可表

u????f(?),

0既然边界条件使用了极坐标系，所以我们将方程也采用极坐标的形式，于是有

?21???u?1?2u?0,??u?????22????????????u(?,?)?f(?).0????0;(4.25)(4.26)

此外，因为自变量?,?的取值范围分别是[0,?0]与[0,2?]，圆盘中心点的温度决不可能是无穷的，并且（?,?）与（?,??2?）实际上表示同一点，温度应该相同，即应该有

limu??? （4.27）

??0u(?,?)?u(?,??2?). （4.28）

现在来求满足方程(4.25 )及条件(4.26)，（4.27），（4.28）的解.先令

u(?,?)?R(?)?(?),

代入方程(4.25)得

R????1?R???1?2R????0 ???, ?即

?2R????R?R??令比值为常数?即得两个常微分方程

???????0,

?2R????R???R?0.

再由条件(4.27)及(4.28)可得

R(0)??,

?(??2?)??(?). （4.29）

这样一来，我们得到了两个常微分方程的定解问题

????????0, （4.30） ??(??2?)??(?).?与

??2R????R???R?0, （4.31） ??R(0)??.先解哪能一个呢？要看哪一个可以定出固有值，由于条件(4.29)满足可加性（即所有满足(4.29)的函数叠加起来仍旧满足(4.29)，所以只能先解问题(4.30).

采用与4.1中同样的方法可以得到 当??0时，问题(4.30)无解；

当??0时，它的解为?0(?)?a0?（常数）；

当??0时，它的解为?0(?)?an?cos???bn?sin??,且

?必须是整数n，取

n?1,2,3,?（只取正整数的理由与4.1相同），则

?0(?)?an?cosn??bn?sinn?.

至此，我们已经定出了固有值与固有函数，接下去是解问题(4.31)，其中的方程是欧拉(Euler)方程，它的通解为

R0?c0?d0ln?,当??0；

Rn?cn?n?dn??n, 当??n2 (n?1,2,3,?).

为了保证R(0)??，只有dn?0 (n?0,1,?2,即) ,Rn?c0?n (n?0,1,2,?)，因此利用叠加原理，方程(4.25)满足条件(4.27),（4.28）的解可以表示为级数

a0?nu(?,?)????(ancosn??bnsinn?) (2.32)

2n?1此式中的

a0就是a0?c0;an,bn分别是an?cn，bn?cn.最后为了确定系数an,bn，我们利用边界2条件(4.26)得

a0?n （4.33） f(?)????0(ancosn??bnsinn?)，2n?1nn因此，a0,?0an,?0bn就是f(?)展开为傅氏级数时的系数，即有

?12??a0??f(?)d?,?0??2?1?a?f(?)cosn?d?, （4.34） ?nn??0?0??2?1?bn?n?0f(?)sinn?d?.?0???将这些系数代入(4.32)式即得所求的解.

为了以后应用起来方便，我们还可以将解(4.32)写成另一种形式.为此，将(4.34)式所确定的系数代入(4.32)式经过简化后可得

u(?,?)?利用下面已知的恒等式

1??2?0?1????n?f(t)?????cosn(??t)?dt. （4.35）

2n?1??0?????1?n11?k2??kcosn(??t)?2n?121?2kcos(??t)?k2*）

(k?1) , *）

这个恒等式的证明如下：

1?n1?1nin(??t)??kcosn(??t)???ke?e?in(??t) 2n?12n?12??11?1?i(??t)n???ke??ke?i(??t)22n?12n?1????n

11kei(??t)1ke?i(??t)（|K|＜1） ???221?kei(??t)21?ke?i(??t)1?kcos(??t)?iksin(??t)kcos(??t)?iksin(??t)? ??1??2?1?kcos(??t)?iksin(??t)1?kcos(??t)?iksin(??t)??

可将解u(?,?)（4.35）表达为

1u(?,?)?2??2?02?0??2 f(t)2dt,????0?. （4.36）2?0???2?0?cos(??t)公式(4.36)称为圆域上的泊松公式，它的作用在于把解写成了积分形式，这样便于作理论上的研究.

4.4 有界弦的强迫振动

前面所讨论的偏微分方程都限于齐次的，现在要讨论非齐次方程的解法，为方便起见，以弦的强迫振动为例，所用的方法对其他类型的方程也适用.

我们研究的问题是一根弦在两端固定的情况下，受强迫力作用所产生的振动现象.即要考虑下列定解问题

2??2u2?u?2?a?f(x,t),0?x?l,t?0;2?t?x???ux?0?ux?l?0;??u??(x),?u??(x).t?0??tt?0?(2.37)(2.38) (2.39)在现在的情况，弦的振动是由两部分干扰引起的，一是强迫力，一是初始状态，所以由物理

意义可知，此时振动可以分解为仅由强近力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成.

由此得到启发，我们可设解为

U(x,t)?V(x,t)?W(x,t), （4.40）

其中V(x,t)表示仅由强迫力引起弦振动的位移，它满足

2??2V2?V?2?a?f(x,t),0?x?l,t?0;2?t?x???Vx?0?Vx?l?0;??u?V??0.t?0??tt?0?(2.41)

而W(x,t)表示仅由初始状态引起弦振动的位移，它满足

1?2kcos(??t)?2k2?11?k2??1??. 2?22?1?2kcos(??t)?k?21?2kcos(??t)?k

2??2W2?W?2?a,0?x?l,t?0;2?t?x???Wx?0?Wx?l?0;??W?W??(x),??(x).t?0??tt?0?(2.42)

读者不难验证，若V是(4.41)的解，W是(4.42)的解，则U?V?W一定就是原定解问题的

解.

问题(4.42)可直接用分离变量法求解，因此现在的问题只要讨论如何解问题（4.41）就行了.

关于问题（4.41），我们可以采用类似于线性非齐次常微分方程中所常用的参数变易法，并保持如下的设想，即这个定解问题的解可分解为无穷多个驻波的叠加，而每个驻波的波形仍然是由该振动体的固有函数所决定，这就是说，我们假设（4.41）的解具有如下的形式

V(x,t)??vn(t)sinn?1?n?x, （4.43） l其中vn(t)是待定的函数，为了确定vn(t)，将自由项f(x,t)展成的傅氏正弦级数，即

f(x,t)??fn(t)sinn?1?n?x, （4.44） l2ln?f(x,t)sinxdx. ?0ll将(4.43)及(4.44)代入(4.41)的第一个式了，得到

其中 fn(t)??''?a2n2?2n?v(t)?v(t)?f(t)sinx?0, (4.45) ??n?nn2lln?1???由此可见得

a2n2?2v(t)?vn(t)?fn(t). 2l再将(４.41)中的初始条件代入(４.43)得

''n'vn(0)?0,vn(0)?0.

这样一来，确定函数vn(t)只需解下列定解问题：

222?an???v(t)?vn(t)?fn(t)?n2,. （４.46） n?1,2?l??v(0)?0,v?(0)?0n?n用拉氏变换法解出（４.46），得到

vn(t)?n?a?0ltfn(?)sinn?a(t??)*)

d?， l *)

在方程（4.46）的两端取关于t的拉氏变换，得

所以，

tn?a(t??)?n??lv(x,t)???f(?)sind?sinx. n??0ll?n?1?n?a?将这个解与问题（４.42）的解加起来，就得到原定解问题（４.37），(４.38)，(４.39)的解.

这里所给的求解问题(４.41)的方法，其实质是将方程的自由项及解都按齐次方程所对应的一族固有函数展开.随着方程与边界条件的不同，固有函数族也就不同，但总是把非齐次方程的解按相应的固有函数展开.所以这种方法也叫固有函数法.

４.5 非齐次边界条件的处理

前面所讨论的定解问题的解法，不论方程是齐次的还是非齐次的，边界条件都是齐次的.如果遇到非齐次边界条件的情况，应该如何处理？总的原则是设法将边界条件化成齐次的.具体地说，就是取一个适当的未知函数之间的代换，使对新的未知函数，边界条件是齐次的.现在以下列定解问题为例，说明选取代换的方法.设有定解问题

2??2u2?u?2?a?f(x,t),0?x?l,t?0; (4.47)2?t?x??ux?l?u2(t);(4.48) ?ux?0?u1(t),??u??(x),?u??(x). (4.49)t?0??tt?0?我们设法作一代换将边界条件化为齐次的，为此令

u(x,t)?V(x,t)?W(x,t). （４.50） 选取W(x,t)使V(x,t)的边界条件为齐次的，即

VWx?0x?0?0,Wx?lVx?l ?0 （４.5１）

?u1(t),?u2(t) （４.52）

也就是说，只要所选取的W满足(４.52)就能达到我们的目的.而满足(４.52)的函数是容易找

到的，例如取W为x的一次式，即设

W(x,t)?A(t)x?B(t), 用条件(4.52)确定A(t),B(t)得

1A(t)??u2(t)?u1(t)?,B(t)?u1(t). ??l

a2n2?2pUn(p)?Un(p)?Fn(p), 2l其中Un(p),Fn(p)分别为vn(t)与fn(t)的拉氏变换，解出

1Un(p)?F(p),na2n2?2p2?l22由于

1a2n2?22p?l2的逆拉氏变换为

ln?asinn?atl，利用拉氏变换的卷积性质，即得vn(t).

显然，函数W(x,t)?u1(t)?u2(t)?u1(t)x就满足(4.52)式，因而只要作代换

lu?u1??u?V??u1?2x?, （4.53）

l??就能使新的未知函数满足齐次的边界条件.

经过这个代换后，得到V的定解问题为

2??2V2?V?2?a?f1(x,t),0?x?l,t?0;2?t?x???Vx?0?0,Vx?l?0;??V?V??(x),??1(x),1t?0??tt?0?(2.54)

其中

??u2??(t)?u1??(t)????f1(x,t)?f(x,t)??u1(t)?x?;l?????? ??(x)??(x)??u(0)?u2(0)?u1(0)x?; （4.55）

?1?1?l??????????(x)??(x)??u?(0)?u2(0)?u1(0)x?.1?1l?????问题（4.54）可用上一节的方法解出，将(4.54)的解代入(4.53)即是原问题的解.

上面由(4.52)式定W(x,t)时，取W(x,t)为x的一次式是为了使（4.55）中几个式子简单一些，并且W(x,t)也容易定，但若f,u1,u2都与t无关，则可适当的选择W(x)（也与

t无关），使V(x,t)的方程与边界条件同时都化成齐次的，这样做就可以省掉下面对V(x,t)要进行解非齐次方程的繁重工作.这种W(x)究竟怎么找，将在后面的例题中说明.

若边界条件不全是第一类的，本节的方法仍然适用，不同的只是函数W(x,t)的形式，读者可就下列几种边界条件的情况写出相应的W(x,t)来：

1?2?3?ux?0?u1(t),?u?x?u?x?u?x?u2(t);x?l?u1(t),x?0ux?l?u2(t); ?u?x?u2(t).x?l?u1(t),x?0以上各节我们说明了如何用分离变量法来解定解问题，为便于读者掌握此方法，现将解定解问题的主要步骤简略小结如下：

一、根据边界的形状选取适当的坐标系，选取的原则是使在此坐标系中边界条件的表达式最为简单.圆、圆环、扇形等域用极坐标系较方便，圆柱形域与球域分别用柱坐标系与球坐标系较方便.

二、若边界条件是非齐次的，又没有其他条件可以用来定固有函数，则不论方程是否为齐次，必须先作代换使化为具有齐次边界条件的问题，然后再求解.

三、非齐次方程、齐次边界条件的定解问题（不论初始条件如何）可以分为两个定解问题，其一是具有原来初始条件的齐次方程，其二是具有齐次定解条件的非齐次方程.第一个问题用分离变量法求解，第二个问题按固有函数法求解.

在结束本章之前，我们再举两个综合性的例子，目的是帮助读者掌握分离变量法的全过程.

例2 求下列定解问题

2??2u2?u?2?a?A,0?x?l,t?0;2?t?x??ux?l?B;?ux?0?0,??u??u?0 t?0??tt?0? (2.56)(2.57) (2.58)的解，其中A,B均为常数.

解 这个定解问题的特点是：方程及边界条件都是非齐次的.根据上述原则，首先应将边界

条件化成齐次的，由于方程(2.56)的自由项及边界条件都与t无关，所以我们有可能通过一次代换将方程与边界条件都变成齐次的，具体做法如下： 令 u(x,t)?V(x,t)?W(x), 代入方程（4.56）得

2??2V2??V?a?W''(x)?2??A. 2?t??x?为了使这个方程及边界条件同时化成齐次的，选W(x)满足

2??aW''(x)?A?0, （4.59） ???WX?0?0,Wx?l?B(4.59)是一个二阶常系数线性非齐次方程的边值问题，它的解可以通过两次积分求得

W(x)??A2?AlB?x??2??x. 22al??2a求出函数W(x)之后，再由（4.58）可知函数V(x,t)为下列定解问题的解.

2??2V2?V?2?a,0?x?l,t?0;?x2??t??Vx?0?0Vx?l?0;??V?V??W(x),?0.t?0??tt?0?(4.60)(4.61)

(4.62)

采用分离变量法，令V(x,t)?X(x)T(t),代入(4.60)得

XT???a2X??T,

或

X??X?T??a2T???2. 由此得到

X????2X?0,(4.63)T???a2?2T?0. (4.64)由(4.63)及(4.61)可以确定固有值与固有函数为

2?n2?2?l2.

X(x)?sinn?nlx.

再由(4.64)得

Tn?an(t)?Cncoslt?Dn?ansinlt, 利用（4.62）中第二个条件可得Dn?0.

于是定解问题（4.60）,(4.61),(4.62)的解可表示为

?V(x,t)??Cn?ancosnltsinn?lx. ?1代入(4.62)中第一个条件得

??W(x)??C?nsinnn?1lx, 即

A2?Al?2a2x???2a2?B?l??x??Cnsinn?x. n?1l由傅氏级数的系数公式可得

Cl?A2?AlB??n?2l?0??2a2x???2a2?l??x??sinn?lxdx. ?Aa2l?ln??An?0x2sinlxdx??2B?l?a2?l2???0xsinlxdx?2Al22?Al2??a2n3?3?n??222?B?cosn? ?an??因此，原定解解问题的解为

4.65）

（

?A2?AlB?n?an?u(x,t)??2x??2??x??Cncostsinx,

2al?ll?2an?1其中Cn由(4.65)确定. 例3 在环形域a?x2?y2?b内求解下列定解问题

??2u?2u22?2?2?12(x?y);?y??x ??u?u22?0,?0.?x?y?a?u22x?y?b?解 由于求解区域是环形区域，所以我们选用平面极坐标系，利用直角坐标与极坐标系之间

的关系

?x??cos?, ??y??sin?,可将上述定解问题用极坐标?,?表示出来

?1??u1?2u(?)?2?12?2cos2?,a???b;?2???????????u?u?0,?0.???a????b?(4.66)

(4.67)这是一个非齐次方程附有齐次边界条件的定解问题，采用4.4所述的固有函数法，并注意在4.3中得到的关于圆域内拉普拉斯方程所对应的固有函数，可令问题（4.66）,(4.67)的解为

u(?,?)????An(?)cosn??Bn(?)sinn???,

n?0?代入(4.66)并整理得到

????''?1'n21'n2??''?2A(?)?A(?)?A(?)cosn??B(?)?B(?)?B(?)sinn???n??12?cos?,???n?nnnn22????n?0?????????比较两端关于cosn?,sinn?的系数可得

''A2(?)?1?'A2(?)?4?2A2(?)?12?2, (4.68)

A(?)?''n1?A(?)?''nn2?2An(?)?0(n?2), (4.69)

B(?)?再由条件(4.67)得

''n1?B(?)?'nn2?2Bn(?)?0. (4.70)

An(a)?Bn(a)?0, (4.71)

An?(b)?Bn?(b)?0. (4.72)

由(4.69)，(4.70),(4.71),(4.72)可知

An(?)?0Bn(?)?0.下面的任务就是要确定A2(?).

(n?2),

方程(4.68)是一个非齐次的欧拉方程，它的通解为

A2(?)?C1?2?C2??2??4,

由条件(4.71),(4.72)确定C1,C2得

a6?2b6C1?4,

a?b4a4b4(a2?2b2)C2??. 44a?b因此

a6?2b62a4b4(a2?2b2)?24A2(?)??4?????,

a?b4a4?b4原定解问题的解为

u(?,?)??

1?6a?2b6??2?a4b4(a2?2b2)??2?(a4?b4)?4?cos2?. 44???a?b习 题 四

1、设弦的两端固定于x?0及x?l，弦的初始位移如图所示，初速度为零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t). 2、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程

u(x,0)?0,

?u(x,0)?x(l?x), ?tu(0,t)?u(l,t)?0.3、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程 1?x,0?x???2ut?0???1?x, 1?x?1;??2

?u?t?x(x?1);t?0

ux?0?ux?1?0.4、解出习题三中第2题.

5、试求适合于下列初始条件及边界条件的一维热传导方程的解

ut?0?x(l?x),ux?0?ux?t?0.6、解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为

ut?0?x,?u?xx?0?u?0,?x?0.x?t

7、一根长为l的细杆表面绝缘，其初始温度分布如图所示，由t?0开始两端温度保持于零度，求杆上温度分布.

8、试解出具有放射衰变的热传导方程

?2u2?u??x?a?Ae?0, 2?x?t已知边界条件为

ux?0?0,初始条件为

ux?l?0,

ut?0?T,T为常数

9、求下列定解问题

2??u2?u?A;??a2?tx???ux?0?ux?l?0; ??ut?0?0??的解.

10、求满足下列定解条件的一维热传导方程的解

ux?0?10,ut?0?ks,

11、试确定下列定解问题

ux?l?5, k为常数

2??u2?u?f(x);??a2?t?x???ux?0?A,ux?l?B; ??ut?0?g(x)??解的一般形式.

12、求稳恒状态下，由直线x?0,x?l1,y?0,y?l2所围矩形板内各点的温度，假设在

x?0,x?l1,y?0三边上温度保持为零度，y?l2这边上各点温度为?(x),其中

?(0)??l(1?)0.13、一半径为a的半圆形平板，其圆周边界上的温度保持u(a,?)?T?(???)，而直径边

界上温度保持为零度，板的侧面绿缘，试求稳恒状态下的温度分布规律u(?,?).

14、一圆环形平板，内半径为r1，外半径为r2，侧面绝缘，如内圆温度保持零度，外圆温度保持1度，试求稳恒状态下的温度分布规律u(r,?). 15、如何解下列定解问题

2??2u2?u?2?a?f(x);2?t?x?? ?ux?0?M1,ux?l?M2;??u?u??(x),??(x).t?0??tt?0?16、在矩形域内求下列定解问题

??2u?f(x,y);???ux?0??1(y),?u??1(x),??y?0的解.

17、在扇形区域内求下列定解问题

ux?a??2(y); uy?b??2(x).??2u?0;???u??0?u??a?0; ???u??a?f(?)的解.

18、在矩形域0?x?a,0?y?b内求拉普拉斯方程的解，使满足边界的条件：

?ux?0?0,ux?a?Ay;? ?u??u?0,?0.??y?yy?b?y?019、把高频输电线充电到具有电压E，然后一端短路封闭，另一端仍保持断开，求以后的

电压分布.

20、求矩形膜振动的位移，即解下列定解问题

2??2u?2u?2??u?2?a?2?2?;?y???x??t?u?x?0?ux?a?0; ??uy?0?uy?b?0;??u?u?xy(x?a)(y?b),?0.y?0??tt?0?