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的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． （1）当降价了6元时，每天的销售利润是 3520 元（直接写出结果）； （2）当降价了多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）如果每天的销售利润不低于4000元，那么每天的总成本至少需要多少元？（2016?江宁区二模）如图，在直线AD上放置一个等腰直角三角形AOB和一个正方形BODC，∠AOB=90°，等腰直角三角形的直角边和正方形的边长均为2，⊙O1为正方形BODC的外接圆，动点P从点A出发以每秒

个单位长度的速度沿

A→B→A运动后停止；动点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，AO1交BO于E点，P、Q运动的时间为t（秒）． （1）直接写出：⊙O1的半径长为

，S△ABE=

；

（2）试探究点P、Q从开始运动到停止，直线PQ与⊙O1有哪几种位置关系？并直接写出对应的运动时间t的范围；

（3）当Q点在折线AD→DC上运动时，是否存在某一时刻t使得S△APQ：S△ABE=3：4？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）设⊙O1的半径为R，根据三角函数的定义列方程求得R=⊥OD，根据相似三角形的性质得到结论；

（2）根据直线与圆的位置关系求得时间t的范围；

（3）①Q点在折线AD上运动时，过点P作PM⊥AD，垂足为点M根据等腰直角三角形的性质得到PM=t，根据三角形的面积公式即可得到结论；②Q点在折线DC上运动时，P到了BA方向，此时P，Q的位置如图，过P作PM⊥AD于M，P运动的路程为根据图形的面积列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）设⊙O1的半径为R， 则2=Rsin∴R=

，

=

=

=，∴

=Rsin45°=

，

t，根据等腰三角形的性质得到PM=AM=4﹣t，Q运动的路程为2t，=

=

，作O1F⊥OD于F，则OF=DF，O1F

=，求得BE=BO=，根据三角形的面积公式即可得到

作O1F⊥OD于F，则OF=DF，O1F⊥OD，∴AF=AO，EO∥O1F，∴△AO1F∽△AEO，∴

_._

_._

=，∴BE=BO=， ∴S△ABE=BE?AO=故答案为：

（2）直线PQ与⊙O1有三种位置关系，分别是相离，相切，相交， 当PQ与⊙O1相离，0＜t＜1， 当PQ与⊙O1相切时，t=1或t=4， 当PQ与⊙O1相交时，4＞t＞1；

（3）①Q点在折线AD上运动时， 过点P作PM⊥AD，垂足为点M 在Rt△APM中，AP=∴PM=t，

∴S△APQ=AQ?PM=×2 t?t S△APQ：S△ABE=3：4 得t2=1 ∴t=1；

②Q点在折线DC上运动时，P到了BA方向， ∴OA=2，OB=2，AB=2

，OD=OB=2，

t，

t，∠BAM=45°，

，；

×2=，

此时P，Q的位置如图，过P作PM⊥AD于M，P运动的路程为∴PB=

t﹣AB=

t﹣2﹣

，

∴AP=AB﹣PB=4∴PM=AM=4﹣t，

t，而△APM为等腰直角三角形，

Q运动的路程为2t， ∴QD=2t﹣OA﹣OD=2t﹣4， 而S△APQ=S△APM+S四边形PMDQ﹣S△ADQ，

S△APM+S四边形PMDQ=PM?AM+（PM+QM）MD=t﹣4t+8， S△ADQ=AD?QD=4t﹣8，

∴S△APQ=t2﹣8t+16，若S△APQ：S△ABE=3：4，而S△ABE=， ∴S△APQ=1， ∴1=t2﹣8t+16，

∴t=3或t=5，当t=5时，Q在BC上，不符合题意，舍去，

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2

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∴t的值为1和3．

【点评】本题考查了圆的性质，正方形的性质，三角形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，直线与圆的位置关系，正确的识别图形是解题的关键．

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