CMEAOB

【寻找定边与直角】

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．

ADOCEB

【分析】连接CE，由于CD为直径，故∠CED=90°，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角∠CEB．

ADOCEB

取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧．

ADOCMEB

连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，AE?AM?EM?102?22?2?226?2．

AECMB

2.如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 ．

AGFDEBC

【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所对的BE边是不确定的．

重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点．

AGFDAGDEEOFBCBC

∠BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆．

AGD

EOFMBC

记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再减去GM即可．

AGEMBCDOF

【辅助圆+将军饮马】

1.如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为________．

DCPEAFB

【分析】∠AFB=90°且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆．

DCPEAFOB

考虑PC+PF是折线段，作点C关于AD的对称点C’，化PC+PF为PC’+PF，当C’、P、F、O共线时，取到最小值．

C'DCPAFOB

【辅助圆+相切】

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．

AEBCFD

【分析】∠AEC=90°且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧．

AOCEBFD

考虑EF⊥AB，且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值．