东华理工大学《概率论与数理统计》练习册
2所以这里?Y~N(??2,?2).再利用结论：若X1与X2相互独立，且
2Xi~N(?i,?i2),i?1,2，则X1?X2~N(?1??2,?12??2).便可得出
22X?Y~N(?1??2,?12??2)；X?Y~N(?1??2,?12??2)； 2X?2Y?(X?Y)?Y~N(?1?2?2,?12?4?2); 22X?Y?X?(X?Y)~N(2?1??2,4?12??2).
（方法2）我们还可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若Xi~N(?i,?i2),i?1,2,?,n，则
Y??kiXi~N(?ki?i,?ki2?i2)
i?1i?1i?1nnn22故X?Y~N(?1??2,?12??2)；X?Y~N(?1??2,?12??2)；
22X?2Y~N(?1?2?2,?12?4?2);2X?Y~N(2?1??2,4?12??2).
7.已知X~N(?3,1)，Y~N(2,1)，且X,Y相互独立,记Z?X?2Y?7,
则Z~( A ).
A.N(0,5) B.N(0,12) C.N(0,54) D.N(?1,2) 提示：由于X~N(?3,1)，Y~N(2,1)，所以Z1?X?3?(X?3)~N(0,1)，1Z2?Y?2?(Y?2)?N(0,1)，故Z3??2Z2??2(Y?2)?N(0,(?2)2?1)?N(0,4)，1而Z?Z1?Z3，所以Z~N(0,5).
??Csin(x?y),0?x,y?,?8.已知(X,Y)~f(x,y)??4则C的值为( D ).
?其他?0, A.
21 B. C.2?1 D.2?1
22 21
东华理工大学《概率论与数理统计》练习册
提示：由联合概率密度函数的规范性知
???4?4?41???????f(x,y)dxdy?C?dx?sin(x?y)dy?C?[cosx?cos(x?)]dx4. 000?4?C[sinx?sin(x?)]??2?1?C?2?104??21?x?xy,0?x?1,0?y?29.设(X,Y)~f(x,y)??,则P{X?Y?1}=( A ). 3?其他?0,657171 B. C. D. 72727272提示：P{X?Y?1}???f(x,y)dxdy
A.
x?y?1154165??dx?(x?xy)dy??(x3?x2?x)dx?.
36327201?x02121
?Ae?(2x?3y),x,y?010.为使f(x,y)??为二维随机向量(X,Y)的联合密度,则A必为( B ).
0,其他? A.0 B.6 C.10 D.16
提示：由联合概率密度函数的规范性知
???????(2x?3y)1???????
f(x,y)dxdy?A?dx?e00AAdy??e?2xd(?2x)?e?3yd(?3y)??A?6.6060?????32?xy,0?x?2,0?y?111.设(X,Y)~f(x,y)??2,则(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点
?其他?0,的三角形内取值的概率为( C ).
A. 0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8
提示：用D表示以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点所形成的三角形区域，用G表示矩形域
[0?x?2,0?y?1]，则所求的概率为 P{(X,Y)?D}???D3232xx4f(x,y)dxdy???xydxdy??dx?xydy??(?)dx?0.6
22216D?G0x20 22
212东华理工大学《概率论与数理统计》练习册
12.设X1,X2,?,Xn相独立且都服从N(?,?),则( B ).
21?2) A.X1?X2???Xn B.(X1?X2???Xn)~N(?,nn22 C.2X1?3~N(2??3,4?2?3) D.X1?X2~N(0,?1??2)
提示：：利用结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若
Xi~N(?i,?),i?1,2,?,n，则Y??kiXi~N(?ki?i,?ki2?i2).
2ii?1i?1i?1nnnn11n122?2因此(X1?X2???Xn)~N(??,?()?)?N(?,)；
nnnni?1i?1X1?X2~N(???,?2??2)?N(0,2?2).
令Z?2X1?3，由教材64页定理结论中的（5.2）式可知，Z的概率密度函数为
fZ(z)?1e2??z?3??)2?222?(11.?e22?(2?)?[z?(2??3)]22(2?)2，故2X1?3~N(2??3,4?2).
二、填空题
1．(X,Y)是二维连续型随机变量，用(X,Y)的联合分布函数F(x,y)表示下列概率： （1）p(a?X?b,Y?c)? F（b,c）-F(a,c) ; （2）p(X?a,Y?b)? F(a,b) ; （3）p(0?Y?a)? F(+?,a)-F(+?,0) ; （4）p(X?a,Y?b)? F(+?,b)-F(a,b) . 2．随机变量(X,Y)的分布率如下表，则?,?应满足的条件是????1/6 .
X Y 1 2 1 1/6 1/2 2 1/9 ? 3 1/18 ?
23
东华理工大学《概率论与数理统计》练习册
3．设平面区域D由曲线y?域
D
1
及直线y?0,x?1,x?e2所围成，二维随机变量(X,Y)在区x
上服从均匀分布，则(X,Y)的联合分布密度函数为
?1/2,x(y,?)D . f(x,y)??0,x(,y?)D?提示：SD??e21?1/2,(x,y)?D1e2dx?[ln|x|]1?2，故f(x,y)??. x?0,(x,y)?D224．设(X,Y)~N(?1,?2,?1,?2,?)，则X,Y相互独立当且仅当?? 0 . 5.设两个随机变量X与Y独立同分布，且P（X=-1）=P（Y=-1）=1/2，P（X=1）=P（Y=1）=1/2，则P（X=Y）= 1/2 ；P（X+Y=0）= 1/2 ；P（XY=1）= 1/2 .
提示：P（X=Y）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）P（Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;
P（X+Y=0）= P（X=-1, Y=1）+ P（X=1, Y=-1）= P（X=-1）（Y=1）+ P（X=1）P（Y=-1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;
P（XY=1）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）P（Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2.
??k(6?x?y),0?x?2,2?y?4三、设随机变量（X，Y）概率密度为f(x,y)??
?0,其它?（1）确定常数k。 （3）求P (X<1.5}
（2）求P {X<1, Y<3} （4）求P (X+Y≤4}
分析：利用P {(X, Y)∈G}=
??f(x,y)dxdy???f(x,y)dxdy再化为累次积分，其中
GG?Do?0?x?2,???Do??(x,y)?
2?y?4????解：（1）∵1???????????f(x,y)dxdy???0212k(6?x?y)dydx，∴k?3 81 8（2）P(X?1,Y?3)???01dx3128(6?x?y)dy?（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)??1.50dx?127(6?x?y)dy? 28324
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