东华理工大学《概率论与数理统计》练习册

P{X?2}?1?P{X?2}?1?P{?2?X?2}?1?P{?2?1X?12?1??}222

?1?[?(0.5)??(?1.5)]?1??(0.5)?1??(1.5)?0.3753. 12.设X服从参数?的指数分布,则下列叙述中错误的是( D ).

?1?e??x,x?0 A.F(x)??

x?0?0, B.对任意的x?0,有P{X

?x}?e??x

C.对任意的s?0,t?0,有P{X?s?t|X?s}?P{X?t} D.?为任意实数

提示：对任意的x?0,P{X?x}?1?P{X?x}?1?F(x)?1?(1?e??x)?e??x；选项C描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”；对于指数分布而言，要求参数??0. 13.设X~N(?,?),则下列叙述中错误的是( A ). A.

2X???2~N(0,1)

B.F(x)??(?x??)

C.P{X?(a,b)}??(提示：选项A改为

a???)??(b???) D.P{|X??|?k?}?2?(k)?1,(k?0)

X???~N(0,1)，才是正确的；

P{X?(a,b)}?F(b)?F(a)??(a???)??(b???)；

P{|X??|?k?}?P{?k??X???k?}?P{?k????X?k???}. ?k?????X??k??????P{??}??(k)??(?k)?2?(k)?1,(k?0)???14.设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布,则方程x?Xx?1?0有实根的概率是( B ). A.0.7 B.0.8 C.0.6 D.0.5

提示：由于随机变量X服从(1,6)上的均匀分布,所以X的概率密度函数为

2,x?[1,6]?122.而方程x?Xx?1?0有实根，当且仅当??X?4?0?X?2或f(x)??5?0,x?[1,6]13

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X??2，因此方程x2?Xx?1?0有实根的概率为

p?P{X?2}?P{X??2}?二、填空题

6?2?0.8. 6?11．随机变量X的分布函数F(x)是事件 X?x 的概率.

2．已知随机变量X只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是则c? 15/16 . 提示：由规范性知1?1111，,,,2c4c8c16c11111515?????c?. 2c4c8c16c16c1623．当a的值为 1/2 时，p(X?k)?a()k,k?1,2,?才能成为随机变量X的分布列.

3提示：由规范性知1?2k2/31. a()?a?2a?a??31?2/32k?1?4．设离散型随机变量X的分布函数为：

?0,x??1?a,?1?x?1?? F(x)??2?a,1?x?2?3???a?b,x?2且p(X?2)?1，则a? 1/6 ,b? 5/6 . 2提示：因为P{X?x}?P{X?x}?P{X?x}?F(x)?F(x?0)，所以只有在F（X）的不连续点（x=-1,1,2）上P{X=x}不为0,且P（X=-1）=F（-1）-F（-1-0）=a，P{X=1}=F（1）-F（1-0）=2/3-2a，P{X=2}=F（2）-F（2-0）=2a+b-2/3,由规范性知1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得a+b=1,又1/2=P{X=2}=2a+b-2/3，故a=1/6，b=5/6.

5．设X~U[1,5]，当x1?1?x2?5时，p(x1?X?x2)= 1(x2?1) . 4?1?,1?x?5提示：由于X~U[1,5]，所以X的概率密度为f(x)??4，

??0,其它 14

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故p(x1?X?x2)?????f(x)dx??x2111dx?(x2?1). 446．设随机变量X~N(?,?2)，则X的分布密度f(x)? 21e2???(x??)22?2,???x?? .若Y?X???，则Y的分布密度f(y)? 1?y2e,???y?? . 2?7．设X~N(3,4)，则p??2?X?7?? 0.9910 .

??2?3X?37?3?P??2?X?7??P????提示：. 222????(2)??(?2.5)??(2)??(2.5)?1?0.9972?0.9938?1?0.99108．设X~N(3,22)，若p(X?c)?p(X?c)，则c? 3 . 提示：p(X?c)?p(X?c)?p(X?c)?1?p(X?c)

??(0)?

1X?3c?3c?3?pX(?c?)p(??)?(2222)?c?3?0?c?32.

??11?9.若随机变量X的分布列为??0.50.5??，则Y?2X?1的分布列为

????13??? . 0.50.5??10.设随机变量Ｘ服从（0,2）上的均匀分布，则随机变量Ｙ＝X2在（0,4）内的概率密度为

fY(y)＝ 14y(0?y?4 ) . y}??y提示：FY(y)?P{Y?y}?P{X? 故fY(y)?FY?(y)?011dx?y,(0?y?4) 2214y(0?y?4).

三、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律

15

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解：X可以取值3，4，5，分布律为

P(X?3)?P(一球为3号,两球为1,2号)?21?C23C5?11021?C33C5 P(X?4)?P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球)??3 10?610P(X?5)?P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)?也可列为下表：

X P

3 4 21?C43C55 1 103 106 100,x?1,??四、 设随机变量X的分布函数为FX(x)??lnx,1?x?e,，求（1）P (X<2), P {0

??1,x?e.(2

解：（1）P (X≤2)=FX (2)= ln2， P (0

P(2?X?5555?FX()?FX(2)?ln?ln2?ln 22241??,1?x?e,（2）f(x)?F'(x)??x

??0,其它0?x?1?x?五、设随机变量X的概率密度f(x)为f(x)??2?x1?x?2，求X的分布函数F (x)。

?其他?0解：F(x)?P(X?x)??x??f(t)dt 0dt?0当x?0时,F(x)??x??x2当0?x?1时,F(x)?0dt?tdt???02?0?x当1?x?2时,F(x)?当2?x时,F(x)??0??0dt??10tdt??x1(2?t)dt?2x?x?122

?0??0dt??10tdt??

21(2?t)dt??x20dt?116