故 z??2.3 3（2） 由P(X?z?)?0.003得

1??(z?)?0.003

即 ?(z?)?0.99 7查表得 z??2.7 5由P(X?z?/2)?0.0015得

1??(z?/2)?0.0015

即 ?(z?/2)?0.9985 查表得 z?/2?2.96

28.设随机变量X的分布律为 X Pk ?2 ?1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律. 【解】Y可取的值为0，1，4，9

P(Y?0)?P(X?0)?1516?115?730P(Y?1)?P(X??1)?P(X?1)?P(Y?4)?P(X??2)?P(Y?9)?P(X?3)?15

1130故Y的分布律为 Y Pk 0 1 4 9 1/5 7/30 1/5 11/30 1229.设P{X=k}=(

)k, k=1,2,?,令

?1,Y????1,当X取偶数时当X取奇数时.

求随机变量X的函数Y的分布律.

【解】P(Y?1)?P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)??

29

?(1?1(k2 2)2?(14

2)??2)??

?(14)/(?114?)13P(Y??1)?1?P(Y?1)?23

30.设X~N（0，1）.

（1） 求Y=eX

的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度.

【解】（1） 当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0

当y>0时，FY(y)?P(Y?y)?P(ex?y)?P(X?lny)

??lny??fX(x)dx

故 fdFY(y)?11/2Y(y)?dyyfx(lny)?1y2πe?ln2y,y?0(2)P(Y?2X2?1?1)?1

当y≤1时FY(y)?P(Y?y)?0

当y>1时F(Y?y)?P(2X2Y(y)?P?1?y)

?P?y?1?y?1?X2????P???X?y?1??2??2?? ?2? ??(y?1)/2?(y?1)/f2X(x)dx

故 fd2?y?1????Y(y)?dyFY(y)?1?4y?1?f??fy?1?X????2?X?????2??? ??? ?121(y?1)/2y?12πe?,4y?1 (3) P(Y?0)?1

当y≤0时FY(y)?P(Y?y)?0

当y>0时FY(y)?P(|X|?y)?P(?y?X?y)

30

??y?yfX(x)dx

故fdY(y)?dyFY(y)?fX(y)?fX(?y)

?2?y2/22πe,y?0

31.设随机变量X~U（0,1），试求： （1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=?2lnX的分布函数及密度函数. 【解】（1） P(0?X?1)?1

故 P(1?Y?eX?e?) 1当y?1时FY(y)?P(Y?y)?0

当1

??lny0dx?lny

当y≥e时FXY(y)?P(e?y)?1

即分布函数

?0,y?1F?Y(y)??lny,1?y?e ??1,y?e故Y的密度函数为

?1f??eY(y)??y,1?y

??0,其他（2） 由P（0

P(Z?0)?1

当z≤0时，FZ(z)?P(Z?z)?0

当z>0时，FZ(z)?P(Z?z)?P(?2lnX?z)

?P(lnX??z2)?P(X?e?z/2) ??1?z/2e?z/2dx?1?e

31

即分布函数

?0,FZ(z)??-z/2,?1-ez?0z?0

故Z的密度函数为

?1?z/2,?efZ(z)??2?0,?z?0z?0

32.设随机变量X的密度函数为

?f(x)=?2x?π2,0?x?π,

??0,其他.试求Y=sinX的密度函数. 【解】P(0?Y?1)?1

当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0

当0

?1212π（2arcsiny）?1-π（2π-arcsiny） ?2πarcsiyn

当y≥1时，FY(y)?1 故Y的密度函数为

?210?y?1fy)???,Y(?π1?y2

??0,其他33.设随机变量X的分布函数如下：

?F(x)??1?1?x2,x?(1),

??(2),x?(3).试填上(1),(2),(3)项.

【解】由limF(x)x???1知②填1。

32