习题二
1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只
球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】
X?3,4,5P(X?3)?P(X?4)?1C53C5C4C53233?0.1?0.3
P(X?5)??0.6故所求分布律为 X P 3 0.1 4 0.3 5 0.6
2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；
（2） X的分布函数并作图； (3)
P{X?12},P{1?X?32},P{1?X?32},P{1?X?2}.
【解】
X?0,1,2.P(X?0)?C13C31513?22235?135.P(X?1)?C2C13C15C13C1531312 .35.P(X?2)??故X的分布律为 X P 0 22351 12352 135
（2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0
当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=
2235
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当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数
?0,?22?,?35F(x)???34,?35?1,?x?00?x?13435
1?x?2x?2(3)
P(X?1122)?F()?,223533233434)?F()?F(1)???0223535)?P(X?1)?P(1?X?32)?12353435?135?0.P(1?X?P(1?X?
P(1?X?2)?F(2)?F(1)?P(X?2)?1?3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的
分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】
设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.
P(X?0)?(0.2)?0.008P(X?1)?C30.8(0.2)?0.096P(X?2)?C(0.8)0.2?0.384P(X?3)?(0.8)?0.5123232123
故X的分布律为 X P 分布函数 ?0,?0.008,??F(x)??0.104,?0.488,???1,x?00?x?11?x?2 2?x?3x?30 0.008 1 0.096 2 0.384 3 0.512 P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)?0.896
4.（1） 设随机变量X的分布律为
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P{X=k}=a?kk!，
其中k=0，1，2，?，λ＞0为常数，试确定常数a.
（2） 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N， k=1，2，?，N，
试确定常数a.
【解】（1） 由分布律的性质知
??1??k?0P(X?k)?a?k?0?kk!?a?e
?故 a?e??
(2) 由分布律的性质知
NN1??P(Xk?1?k)??k?1aN?a
即 a?1.
5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率;
（2） 甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)
(1) P(X?Y)?P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?1)?P(X?2,Y?2)?
P(X?3,Y?3)
?(0.4)(0.3)?C30.6(0.4)C30.7(0.3)+
22223 C3(0.6)0.4C3(0.7)0.3?(0.6)(0.7)
331212 ?0.3207 6(2) P(X?Y)?P(X?1,Y?0)?P(X?2,Y?0)?P(X?3,Y?0)? P(X?2,Y?1)?P(X?123223Y,?1?)PX(?3 3Y,??C30.6(0.4)(0.3)?C3(0.6)0.4(0.3)? (0.6)(0.3)?C3(0.6)0.4C30.7(0.3)? (0.6)C30.7(0.3)?(0.6)C3(0.7)0.3
312322332212=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各
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飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，
则有
P(X?N)?0.01
200即 利用泊松近似
?k?N?1C200(0.02)(0.98)kk200?k?0.01
??np?200?0.02?4.
?P(X?N)??k?N?1e4k!?4k?0.01
查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？
【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）
P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)
?1?e?0.1?0.?1【解】设在每次试验中成功的概率为p，则
?e
0.8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.
C5p(1?p)?C5p(1?p)
14223故 p?13
4所以 P(X?4)?C5()31423?10243.
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；
（2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）
5P(X?3)??Ck?3k5(0.3)(0.7)k5?k?0.16308
(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）
7P(Y?3)??Ck?3k7(0.3)(0.7)k7?k?0.35293
10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分
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