?C1(1?n故所求概率为
ni?11nk22)?C(?1nn2nk)????(1n)Cn?n1n?1k?(1 n)1?P(?Ai)?1?Cn(1?11n)?Cn(1?k2)???(?1)in?1Cn(1?n?1n?1n)
k48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独
立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1. 【证】
在前n次试验中，A至少出现一次的概率为
1?(1??)?1(n??)
n49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}
B={这只硬币为正品}
由题知 P(B)?mm?nP,B(?)12rnm?n
P(A|B)?,P(A|B)?1
则由贝叶斯公式知
P(B|A)?P(AB)P(A)?P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)
1?rmm?n2 ? ?rm1nm?2n?r??1m?n2m?nm50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用
火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又
有多少？
【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有P(B1)?P(B2)?12.（1）发现一盒已空，
另一盒恰剩r根，说明已取了2n?r次，设n次取自B1盒（已空），n?r次取自B2盒，第2n?r+1次拿起B1，发现已空。把取2n?r次火柴视作2n?r重贝努里试验，则所求
概率为
1n1n?r11nnp1?2C2n?r()()??Cn?r2r?r
2222式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.
（2） 前2n?r?1次取火柴，有n?1次取自B1盒，n?r次取自B2盒，第2n?r次取自B1
盒，故概率为
1n?11n?r112n?r?1n?1n?1p2?2C2n?r?1()()?C2n?r?1()
222251.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.
13
【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由
(q?p)?Cnpq?Cnpq(q?p)?Cnpq?Cnpqn00n1n00n1n?1?Cnpq2222n?2???Cnpq?1
nnn0nn0n?1?Cnpqn?2???(?1)Cnpq
以上两式相减得所求概率为
p1?Cnpq1n?1?Cnpqn33n?3??
??1212[1?(q?p)] [1?(1?2p)]
n若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得
p2?12[1?(1?2p)].
n52.设A，B是任意两个随机事件，求P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值. 【解】因为（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB
（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB
所求 (A?B)(A? ?[(AB?AB)? ??
故所求值为0.
53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：
ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.
【解】由P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)
? ?3P(A)3P[A(122B)(?A(A?BB)?(AA )B] B)9?)] 1614故P(A)?14或
34,按题设P（A）<,故P（A）=.
54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A
不发生的概率相等，求P（A）.
【解】 P(AB)?P(?AB)?1?P(?A1B?) ① 9P(AB)?P(AB) ②
故 P(A)?P(AB)?P(B?) BP(A故 P(A)?P(B ) ③
14
由A,B的独立性，及①、③式有
19?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B)
?1?2P(A)?[P(A)]2
2 ?[1?P(A) ]故 1?P(A)??故 P(A)?即P（A）=
232313
43或P(A)?（舍去）
.
点落在半圆内任何区域的概率与2ax?x (a为正常数)内掷一点，
12255.随机地向半圆0 区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少？ 【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为 π42πa2.阴影部分面积为 12a 2a?故所求概率为 πp?4a?12122a2?12?1π 256.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格 πa品，求另一件也是不合格品的概率. 【解】 设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品} C4P(B|A)?P(AB)P(A)?C101-C62222?15 C1057.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3 份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p； （2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3. Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2. )?则 P(AiP(B1|A1)?31013,i?1,2 ,3715,P(B1|A3)?525,P(B1|A2)? 15 3(1) p?P(B1)??i?1P(B1|Ai)?1310(3?715?525)?2990 (2) q?P(B1|B2)?P(B1B2)P(B2)3 而 P(B2)??P(Bi?12|Ai)P(Ai) 82061 )?25903 ?1310(7?15?P(B1B2)??P(Bi?11B2|Ai)P(Ai) 7?7?8?5?202)? 249 ?1310(3?9151425220 ?9?61P(B2)619058. 设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. (2006研考) 故 q?P(B1B2)解：因为 P(A?B)?P(A)?P(B?) BP(AP(AB)?P(B)?P(AB)?P(B) 所以 P(A?B)? P(A)?P(B?)P(B?). P(A16