(2) 因P{X?2}?P{Y?0.4}?0.2?0.8?0.16?0.15?P(X?2,Y?0.4), 故X与Y不独立.?

14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为

?1?y/2?e,fY（y）=?2??0,y?0,其他.

（1）求X和Y的联合概率密度； 2

（2） 设含有a的二次方程为a+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.

?1,?0,y?1?20?x?1,?e,y?1, fY(y)???2

其他;?0,其他.?【解】（1） 因fX(x)????1?y/2?e故f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)??2?0,?0?x?1,y?0,其他.

题14图

(2) 方程a2?2Xa?Y?0有实根的条件是

??(2X)?4Y?0

2故 X≥Y， 从而方程有实根的概率为：

P{X22

?Y}???x?y2f(x,y)dxdy

??10dx?x0212e?y/2dy ?1?2?[?(1)??(0)]

?0.1445.15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服

从同一分布，其概率密度为

?1000?,f（x）=?x2??0,x?1000,其他.

49

求Z=X/Y的概率密度.

【解】如图,Z的分布函数FXZ(z)?P{Z?z}?P{Y?z}

(1) 当z≤0时，FZ(z)?0

（2） 当0

1000z）(如图a)

6F??106yzZ(z)?x2dy????103dy3

10y?y2dxxz?10x2y2dxz =????103?103?106?dy?z z?y2zy3??2

题15图

(3) 当z≥1时，（这时当y=103

时，x=103

z）（如图b）

F106Z(z)???x2y2dxdy????103dy?zy106103y?xx2y2dx

z =????103?103?106?dy?1?1 ?y2zy3??2z??1?1,z?1,?2z即 f?zZ(z)??,0?z?1

,?2?0,其他.???1?2z2,z?1,?故 f?1Z(z)??2,0?z?1 ,??0,其他.??16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4 求其中没有一只寿命小于180的概率.

只，

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