?5e?5y,fY(y)???0,y?0,其他.

所以

f(x,yX)Y,独立fXx(?f)Yy( )? ??1?0.2?5e?5y???25e?5y,0?x?0.2且y?0,

??0,?0,其他.(2) P(Y?X)???f(x,y)dxdy如图??25e?5ydxdy

y?xD

??0.20dx?x-5y025edy??0.2?0(?5e?x55)dx

=e-1?0.3679.7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

?(1?e?4x)(1?e?2yF（x，y）=?),x?0,y?0,?0,其他.求（X，Y）的联合分布密度. 2【解】f(x,y)??F(x,y)?8e?(4x?2y)?x?y??,x?0,y?0,?0,其他.

8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=?4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,??0,其他.求边缘概率密度. 【解】f??X(x)????f(x,y)dy

?x =???04.8y(?2xy)?d??2.4x2(?2x),?0x?,??0,?0,其他.

1 fY(y)??????f(x,y)d x?1 =?4.8y(?2xx)2??y?d??2.4y(?3y4?y),?y0???0,?0,其他.

45

1,

题8图 题9图

9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

??e?yf（x，y）=,0?x?y,?0,其他.

求边缘概率密度. 【解】fX(x)????(??fx,y)dy

??? =??xe?ydy???e?x ?,x?0,

??0,?0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx

?y =???0e?ydx???ye?x,y?0,

??0,?0,其他.

题10图

10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??cx2y,x2?y?1,?0,其他.

（1） 试确定常数c； （2） 求边缘概率密度. 【解】（1）

?????,?????f(xy)dxdy如图??f(x,y)dxdy

D =?1dx?1cx2ydy?4-1x221c?1.

得?c?214.

(2) fX(x)??????f(x,y)dy

46

?1 ????212?21x24xydy???8x2(1?x4),?1?x?1,

??0,??0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx

??y212????y4dx???75xy?2y2,0?y?1,

??0,??0, 其他.11.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??1,y?x,0?x?1,?0,其他.

求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.

题11图

【解】fX(x)??????f(x,y)dy

?x ?????x1dy?2x,0?x?

1??0,其他.?1???y1dx?1?y,?1?y?0,f??Y(y)????f(x,y)dx???1?0?y?1,??y1dx?1?y,?0,其他.??所以

f(y|x)?f(x,y)??1,|y?|x?1,Y|Xf(x)??2x

X??0,其他. 47

?1 ?x?1,?1?y, y?f(x,y)?1??,?y?x? 1, fX|Y(x|y)?fY(y)?1?y?0,其他.??12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大

的号码为Y. （1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表 X Y 3 4 5 P{X?xi} 1 1C53?110 2C51C533?210110 3C52C51C5233?3102101106 103 2 0 ? ? 101 3 0 0 ? 10 P{Y?yi} 110 310610110 6106100110

(2) 因P{X?1}?P{Y?3}?故X与Y不独立?

13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 Y 0.4 0.8 X 2 5 8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 （1）求关于X和关于Y的边缘分布； （2） X与Y是否相互独立？

X 2 0.15 0.05 0.2 5 0.30 0.12 0.42 8 0.35 0.03 0.38 P{Y=yi} 0.8 0.2 ????P{X?1,Y?3},

【解】（1）X和Y的边缘分布如下表?

Y 0.4 0.8 P{X?xi} 48