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微专题：正方形中的典型模型问题

◆模型一 正方形对角线交点处含一直角的问题

一、通过全等转化求重叠部分的面积【教材P63实验与探究拓展】

1．(2017·秦皇岛海港区期末)如图，正方形ABCD边长为a，O为正方形ABCD的对角线的交点，正方形A1B1C1O绕点O旋转，则两个正方形重叠部分的面积为________．

第1题图 变式题图

【变式题】将5个边长都是2cm的正方形如图摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形对角线的交点，则阴影部分的面积为________．

二、证明相关线段长度的等量关系

2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在AB，BC上，且∠EOF＝90°.

(1)求证：OE＝OF；

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(2)下列结论：①AE＝BF；②BE＋BF＝AD；③AE＋CF＝2OE.其中正确的有__________(填序号)．

◆模型二 正方形内部含互相垂直的两条线段

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3．(2017·石家庄新华区期末)如图，点E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于点O.下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AD＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF.其中正确的有( )

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

◆模型三 含一外角平分线问题

4．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于F.求证：AE＝EF.

【变式题】如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°.

(1)求证：∠BAG＝∠CBF； (2)求证：AG＝FG.

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参考答案与解析

1221.a 【变式题】4cm 4

2．(1)证明：∵BD，AC为正方形ABCD的对角线，∴OB＝OC，∠EBO＝∠FCO＝45°，∠BOF＋∠FOC＝90°.∵∠EOF＝∠EOB＋∠BOF＝90°，∴∠EOB＝∠FOC.在△EOB和△FOC中，∠EBD＝∠FCO，??

∴△EOB≌△FOC(ASA)，∴OE＝DF. ?BO＝CO，

??∠EOB＝∠FOC，

(2)解：①②③

3．B

4．证明：如图，取AB的中点H，连接EH.∵∠AEF＝90°，∴∠2＋∠AEB＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠1＋∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2.∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH＝BE，AH＝CE，∴∠BHE＝45°.∵CF是∠DCG的平分线，∴∠FCG＝45°，∴∠AHE＝∠ECF∠1＝∠2，??

＝135°.在△AHE和△ECF中，?AH＝EC，∴△AHE≌△ECF(ASA)，∴AE＝EF.

??∠AHE＝∠ECF，

【变式题】

(1)证明：∵BG⊥AE，∴∠AGB＝90°，∴∠ABG＋∠BAG＝90°.∵∠CBF＋∠ABG＝90°，∴∠BAG＝∠CBF.

(2)证明：如图，过点C作CH⊥BF于H点．∵∠CFB＝45°，∴CH＝HF.∵AG⊥BF，CH⊥BF，∠AGB＝∠BHC，??∴∠AGB＝∠BHC＝90°.在△AGB和△BHC中，∴AG＝BH，?∠BAG＝∠CBH，∴△AGB≌△BHC，

??AB＝BC，

BG＝CH＝HF.∵BH＝BG＋GH，∴BH＝HF＋GH＝FG，∴AG＝FG.

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